Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Дискретная математика → Криптография ↓


Применение теории чисел в криптографии


В нынешнюю цифровую эпоху защита конфиденциальной информации стала важнее, чем когда-либо. Криптография, древняя практика, необходима для обеспечения безопасности данных. Современная криптография сильно зависит от математических концепций, и теория чисел является важной основой. Этот текст предоставляет подробную информацию о том, как теория чисел применяется в криптографии, сосредоточившись на ее принципах и практических примерах.

Введение в криптографию

Криптография - это наука о шифровании и дешифровании сообщений, так что их содержание скрыто от неавторизованных получателей. В криптографии сообщения преобразуются в запутанные сообщения, которые может прочитать только тот, у кого есть правильный ключ для дешифровки.

Два основных типа криптографии – симметричная и асимметричная. В симметричной криптографии один и тот же ключ используется как для шифрования, так и для дешифрования. В асимметричной криптографии, также известной как криптография с открытым ключом, различные ключи используются для шифрования и дешифрования.

Роль теории чисел в криптографии

Теория чисел включает изучение целых чисел и их свойств. Она предоставляет необходимые инструменты для криптографии, особенно в разработке и анализе криптографических алгоритмов. Основные концепции теории чисел, используемые в криптографии, включают простые числа, модульную арифметику и наибольший общий делитель (НОД).

Простые числа

Простые числа – это целые числа больше 1, у которых нет делителей, кроме 1 и самих себя. Они являются основополагающими для генерации ключей в криптографии, особенно в криптографии с открытым ключом. Сложность факторизации больших простых чисел является основой безопасности многих алгоритмов шифрования.

Например, в алгоритме RSA безопасность основана на том, что умножение двух больших простых чисел легко, но обратное действие – факторизация их произведения – является сложной задачей.

Пример: Простое число 1: 17 Простое число 2: 23 Произведение: 391 Факторизация 391 без предварительных знаний вычислительно сложна для больших чисел.

Модульная арифметика

Модульная арифметика является математической основой для операций в модульной системе, где числа оборачиваются, когда достигают определенного значения, называемого модулем. Она широко используется в криптографии, потому что создает циклический числовой шаблон, который важен как для симметричных, так и для асимметричных алгоритмов шифрования.

В модульной арифметике уравнение выражается как:

a ≡ b (mod n)

Это уравнение означает, что когда "a" делится на "n", остаток равен "b".

Пример: 18 ≡ 3 (mod 5) Потому что 18, деленное на 5, дает остаток 3.

Модульная арифметика важна для создания циклических групп и полей, необходимых для процессов шифрования и дешифрования.

Наибольший общий делитель (НОД) и алгоритм Евклида

НОД двух чисел – это наибольшее целое число, которое делит оба числа без остатка. Алгоритм Евклида является методом для эффективного нахождения НОД двух целых чисел и часто используется для вычисления мультипликативных обратных в модульной арифметике, что важно для процедур дешифрования.

Пример: Найти НОД чисел 48 и 18. 48 = 18 * 2 + 12 18 = 12 * 1 + 6 12 = 6 * 2 + 0 Следовательно, НОД(48, 18) = 6.

Криптография с открытым ключом и теория чисел

Криптография с открытым ключом – это криптографическая система, которая использует пары ключей. Каждая пара состоит из открытого ключа, который можно передавать публично, и закрытого ключа, который хранится в тайне. Теория чисел играет важную роль в создании и управлении этими ключами.

Алгоритм RSA

Алгоритм RSA – один из самых широко используемых систем с открытым ключом. Он использует большие простые числа и модульную арифметику.

  1. Выберите два больших простых числа ( p ) и ( q ).
  2. Вычислите ( n = pq ) и ( phi(n) = (p-1)(q-1) ).
  3. Выберите целое число ( e ), такое что ( 1 < e < phi(n) ) и ( gcd(e, phi(n)) = 1 ); обычно ( e = 65537 ).
  4. Определите ( d ) как модульно мультипликативный инверс ( e ) по модулю ( phi(n) ).

Открытый ключ – ( (n, e) ), а закрытый ключ – ( d ). Шифрование сообщения ( M ) выполняется как ( C = M^e mod n ), а дешифрование – как ( M = C^d mod n ).

Пример: Пусть p = 61, q = 53. n = pq = 3233, (phi(n) = (61-1)(53-1) = 3120). Выберите e = 17. Вычислите d, чтобы ( ed equiv 1 mod 3120 ). d = 2753. Открытый ключ: (3233, 17), Закрытый ключ: (3233, 2753). Зашифруйте сообщение M = 123. C = 123^17 mod 3233 = 855. Дешифруйте C = 855. M = 855^2753 mod 3233 = 123.

Безопасность RSA зависит от практической сложности вычисления произведения двух больших простых чисел.

Криптография на эллиптических кривых (ECC)

ECC – это подход к криптографии с открытым ключом, основанный на алгебраической структуре эллиптических кривых над конечными полями. Он обеспечивает безопасность, аналогичную другим схемам при более мелких ключах, что делает его эффективным для устройств с ограниченными ресурсами.

Эллиптическая кривая определяется следующим уравнением:

y^2 = x^3 + ax + b

Эта кривая обладает свойствами, которые делают точки на ней подходящими для криптографии.

Пример: Рассмотрите эллиптическую кривую y^2 = x^3 + 2x + 3 над (mathbb{R}). Сложение точек дает способ выполнения сложных операций, которые лежат в основе создания открытых и закрытых ключей.

ECC широко используется в таких системах, как Bitcoin, так как обеспечивает высокую безопасность при небольшой длине ключа.

Заключение

Применение теории чисел в криптографии отражает глубокие взаимосвязи между математикой и защищенной связью. Воспользовавшись математическими принципами, такими как простые числа, модульная арифметика и алгоритм Евклида, криптографические методы предоставляют необходимую безопасность для передачи и хранения цифровых данных.

С развитием технологий важность понимания и разработки передовых криптографических методов становится все более очевидной, чтобы гарантировать, что конфиденциальность и безопасность остаются неотъемлемой частью наших цифровых взаимодействий.


Магистратура → 10.3.1


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (10.3)
Криптография
следующая (10.3.2) →
Симметричное и асимметричное шифрование

комментарии 



Применение теории чисел в криптографии

https://www.buddymath.com/g/10.3.1?bmal=ru