Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Compañerismo


La combinatoria es un área fascinante de las matemáticas discretas que trata del conteo, disposición y estructura de elementos dentro de un conjunto. Aunque a menudo se relaciona con la probabilidad, la combinatoria en sí misma no implica inherentemente ninguna noción de incertidumbre. En cambio, proporciona un conjunto de métodos y teorías que ofrecen un medio riguroso para abordar preguntas que involucran estructuras discretas y colecciones finitas.

Principios básicos

Regla de la suma

La ley de la suma, o el principio de la suma, establece que si tienes dos categorías que no se superponen, y una categoría puede ocurrir de n formas y la otra de m formas, entonces hay n + m formas para que ocurra cualquiera de los dos eventos.

Por ejemplo:

Si hay 3 rutas diferentes desde la ciudad A a la ciudad B y 4 rutas diferentes desde la ciudad A a la ciudad C, y ninguna ruta va tanto a B como a C,
Entonces puedes elegir la ruta a la ciudad B o ciudad C en 3 + 4 = 7 formas.
Ruta a B (3 rutas) Ruta a C (4 rutas) Total = 3 + 4 = 7 formas

Regla del producto

La ley de la multiplicación, o el principio de multiplicación, afirma que si hay n formas de hacer una tarea y m formas de hacer otra tarea, entonces hay n × m formas de hacer las dos tareas en secuencia.

Por ejemplo:

Si hay 5 camisas diferentes y 3 pares de pantalones diferentes, entonces 
5 × 3 = 15 atuendos posibles, ya que cada camisa se puede usar con cualquier pantalón.
Camisa: 5 Formas Pantalones: 3 Formas Total: 5 × 3 = 15 formas 15 Atuendos

Permutación

La permutación trata sobre el arreglo de un grupo de objetos de manera secuencial. El número de permutaciones de n objetos distintos es n! (n factorial), que se da como:

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Ejemplo: ¿De cuántas maneras podemos ordenar las letras A, B y C?

Hay tres cosas aquí, así que vamos a calcular:
3! = 3 × 2 × 1 = 6 formas
ABC ACB BAC BCA CAB CBA Total = 6 formas

Permutaciones de subconjuntos

Al organizar los subconjuntos del conjunto completo utilizamos la siguiente fórmula:

P(n, r) = n! / (n-r)!

Donde n es el número total de elementos, y r es el número de elementos a ordenar.

Ejemplo: ¿De cuántas maneras podemos ordenar 2 letras del grupo {A, B, C}?

P(3, 2) = 3! / (3-2)! = 6 / 1 = 6 formas
Ordenación: AB, AC, BA, BC, CA, CB

Combinación

Las combinaciones representan el número de formas de seleccionar elementos de un conjunto sin considerar el orden de selección. La fórmula para combinaciones se da como:

C(n, r) = n! / [r! × (n-r)!]

Ejemplo: ¿De cuántas maneras podemos seleccionar 2 elementos del conjunto {A, B, C, D}?

C(4, 2) = 4! / (2! × (4-2)!) = 6 maneras
Combinación: AB, AC, AD, BC, BD, CD
Ahora AC Anuncio BC BD CD Total = 6 formas

Teorema binomial

El teorema binomial es un resultado fundamental que describe la expansión algebraica de las potencias de una expresión binomial. El teorema se puede enunciar de la siguiente manera:

(a + b)^n = Σ C(n, k) × a^(n-k) × b^k

Donde Σ representa la suma y k varía de 0 a n. Aquí C(n, k) es el número de combinaciones y se representa como n elige k.

Ejemplo: Expanda (x + y)^2 usando el teorema binomial.

(x + y)^2 = C(2, 0) * x^2 * y^0 + C(2, 1) * x^1 * y^1 + C(2, 2) * x^0 * y^2
          = 1 * x^2 + 2 * xy + 1 * y^2
          = x^2 + 2xy + y^2

Principio del casillero

El Principio del casillero es una idea simple pero poderosa que establece que si intentas distribuir más elementos que el número de contenedores, al menos un contenedor debe contener más de un elemento.

Ejemplo: En un grupo de 13 personas, al menos dos personas deben haber nacido en el mismo mes, porque solo hay 12 meses.

Se utiliza para demostrar la existencia, pero no indica el método; por ejemplo, saber que dos personas tienen el mismo cumpleaños sin identificarlas.

Conclusión

El mundo de la combinatoria es vasto y complejo, e involucra mucho más de lo que se puede cubrir brevemente aquí. Desde funciones generadoras hasta teoría de grafos, enumeración de patrones y más allá, la combinatoria emplea un conjunto de herramientas y conceptos necesarios para enfrentar desafíos matemáticos complejos. Cada principio, fórmula y teorema proporciona poderosos conocimientos y utilidad en diversos campos como la informática, la criptografía y la investigación de operaciones.


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