समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत को समझना

समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत संयोज्याक में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जो गणित के एक शाखा है जो संभाव्य परिणामों की गणना और गणना से संबंधित है। यह सिद्धांत हमें कई समुच्चयों के संघ का आकार निर्धारण करने में मदद करता है जब व्यक्तिगत समुच्चयों और उनके प्रतिच्छेदन के आकार ज्ञात होते हैं। यह सिद्धांत केवल शक्तिशाली ही नहीं है बल्कि संभाव्यता और सांख्यिकी से लेकर कंप्यूटर विज्ञान और तर्कशास्त्र तक विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से लागू होता है।

मूल विचार

चलो सबसे सरल मामले से शुरू करते हैं: दो समुच्चय, A और B। प्रमेय कहता है कि दो समुच्चयों, A और B (जिन्हें |A ∪ B| के रूप में दर्शाया गया है) के संघ में तत्वों की संख्या खोजने के लिए, हमें प्रत्येक समुच्चय में तत्वों की संख्या को अलग-अलग जोड़कर शुरू करना चाहिए। हालांकि, जब हम ऐसा करते हैं, तब हम उन तत्वों को दोहराते हैं जो दोनों समुच्चयों, A ∩ B में सामान्य हैं। इसलिए, हमें दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन में तत्वों की संख्या को घटाकर दोहरी गिनती को सुधारना चाहिए।

समुच्चय सिद्धांत में दो समुच्चयों के संयोजन का सूत्र इस प्रकार वर्णित है:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

अवधारणा का दृष्टांत करें

एक उदाहरण पर विचार करें जहां हमारे पास दो अतिव्यापी गोल आकृतियाँ या समूह हैं:

इस चित्रण में, नीला वृत्त समुच्चय A का प्रतिनिधित्व करता है, हरा वृत्त समुच्चय B का प्रतिनिधित्व करता है, और जहाँ ये अतिव्यापित होते हैं वह प्रतिच्छेदन A ∩ B है।

तीन समुच्चयों के लिए विस्तार

जब तीन समुच्चयों जैसे A, B और C के साथ कार्य कर रहे होते हैं, तो सिद्धांत थोड़ा अधिक जटिल हो जाता है। तीन समुच्चयों के संघ के लिए समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत हमें निम्नलिखित बताता है:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

यहाँ, हम पहले व्यक्तिगत समुच्चयों के आकार जोड़ते हैं। फिर हम सभी युग्मीकृत प्रतिच्छेदनों के आकार घटाते हैं ताकि दोहरी गिनती को सुधार सकें। हालाँकि, यह घटाव उन तत्वों को भी निकाल देता है जो सभी तीनों समुच्चयों में एक समान होते हैं (प्रत्येक युग्मीकृत घटाव के लिए), इसलिए हम एक बार त्रैतीय प्रतिच्छेदन का आकार जोड़ते हैं।

तीन समुच्चयों के साथ चरण-दर-चरण उदाहरण

आइए एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करें:

• समुच्चय A लोगों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें सेब पसंद है।
• समुच्चय B लोगों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें केले पसंद हैं।
• समुच्चय C लोगों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें चेरी पसंद है।

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित डेटा है:

• |A| = 30 (लोगों को सेब पसंद हैं)
• |B| = 25 (लोगों को केले पसंद हैं)
• |C| = 20 (लोगों को चेरी पसंद हैं)
• |A ∩ B| = 10 (जो लोग दोनों सेब और केले पसंद करते हैं)
• |A ∩ C| = 5 (जो लोग दोनों सेब और चेरी पसंद करते हैं)
• |B ∩ C| = 8 (जो लोग दोनों केले और चेरी पसंद करते हैं)
• |A ∩ B ∩ C| = 3 (जो लोग तीनों फलों को पसंद करते हैं)

समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करते हुए:

|A ∪ B ∪ C| = 30 + 25 + 20 – 10 – 5 – 8 + 3
            = 60

इस प्रकार, 60 लोग कम से कम तीन प्रकार के फलों को पसंद करते हैं।

n समुच्चयों के लिए सामान्यीकरण

समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत को तीन से अधिक समुच्चयों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास n समुच्चय हैं, A₁ , A₂ , ..., A_n. सिद्धांत को इस प्रकार सामान्यीकृत किया गया है:

|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | ,
∑ |Ai | - ∑ |Ai ∩ Aj | + ∑ |Ai ∩ Aj ∩ Ak | - ... + (-1)n+1 |A1 ∩ A2 ... ∩ An |

यहाँ, संयोजन संख्या के आधार पर जोड़े जाते हैं, और प्रत्येक संयोजन में संकेत मुल्यांकन घटाव और जोड़ के बीच बदलता रहता है।

तीन समुच्चयों के लिए दृश्य उदाहरण

तीनों अतिव्यापी समुच्चयों का एक और विस्तृत उदाहरण देखिए:

तीन मण्डल समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं। तीन युग्मीकृत प्रतिच्छेदन और केंद्रीय प्रतिच्छेदन समावेशन-बहिष्करण सूत्र के अनुसार घटाए गए और फिर जोड़े गए क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अनुप्रयोग और उन्नत उदाहरण

समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत अविश्वसनीय रूप से बहुपरकारी है और इसे कई धारिण्य स्थितियों में लागू किया जा सकता है, जैसे:

1. प्रतिबंधित प्रणाली की गणना करना

मान लीजिए कि हमें {1, 2, ..., n} संख्याओं की परिक्रमा की गणना करनी है ताकि इनमें से कोई भी संख्या अपनी मूल स्थिति में न हो (एक विक्षेपण)। समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत हमें उन गणनाओं को व्यवस्थित रूप से शामिल और निकालने की अनुमति देता है जहां कुछ वस्तुएं अपनी मूल स्थिति में होती हैं।

2. संभाव्यता की गणना

संभाव्यता में, सिद्धांत का उपयोग कई घटनाओं के संघ की संभाव्यता की गणना करने के लिए किया जाता है। अगर हमें व्यक्तिगत घटनाओं और उनके प्रतिच्छेदन की संभाव्यता पता है, तो हम समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके कम से कम एक घटना की संभाव्यता प्राप्त कर सकते हैं।

3. नेटवर्क विश्वसनीयता

नेटवर्क डिज़ाइन में, इस सिद्धांत का उपयोग जटिल प्रणालियों की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए किया जा सकता है, जिससे यह संभावना होती है कि कम से कम एक महत्वपूर्ण घटक विफल हो जाएगा।

एक अधिक जटिल उदाहरण पर कार्य करना

चलो चार समुच्चयों के अधिक जटिल उदाहरण को देखें:

विद्यार्थियों के चार समूह पर विचार करें:

• समुच्चय A: विद्यार्थी जो फुटबॉल खेल रहे हैं
• समुच्चय B: विद्यार्थी जो बास्केटबॉल खेल रहे हैं
• समुच्चय C: विद्यार्थी जो क्रिकेट खेल रहे हैं
• समुच्चय D: विद्यार्थी जो टेनिस खेल रहे हैं

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित डेटा है:

• |A| = 40
• |B| = 35
• |C| = 25
• |D| = 20
• |A ∩ B| = 15
• |A ∩ C| = 10
• |A ∩ D| = 5
• |B ∩ C| = 10
• |B ∩ D| = 8
• |C ∩ D| = 6
• |A ∩ B ∩ C| = 4
• |A ∩ B ∩ D| = 2
• |A ∩ C ∩ D| = 1
• |B ∩ C ∩ D| = 3
• |A ∩ B ∩ C ∩ D| = 1

समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करते हुए:

|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D|
                    - (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |A ∩ D| + |B ∩ C| + |B ∩ D| + |C ∩ D|)
                    + (|A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D|)
                    − |A ∩ B ∩ C ∩ D|
                 = 40 + 35 + 25 + 20
                   - (15 + 10 + 5 + 10 + 8 + 6)
                   + (4 + 2 + 1 + 3)
                   - 1
                 = 120 – 54 + 10 – 1
                 = 75

इसलिए, 75 विद्यार्थी कम से कम एक खेल खेलते हैं।

विशेष विचार और टिप्स

• इस सिद्धांत का उपयोग करते समय सुनिश्चित करें कि आपने प्रतिच्छेदन सही तरीके से गणना की है। इन्हें अनदेखा करना या गलत तरीके से गणना करना गलत परिणामों की ओर ले जा सकता है।
• यह विधि वैकल्पिक योग और अंतर शामिल करती है, इसलिए सटीकता के लिए संकेतों का ट्रैक रखना महत्वपूर्ण है।
• समुच्च्यों की संख्या के साथ जटिलता बढ़ती है, इसलिए त्रुटियों से बचने के लिए डेटा का सावधानीपूर्वक संगठन महत्वपूर्ण है।

निष्कर्ष

समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत संयोज्याक में एक महत्वपूर्ण उपकरण है जो जटिल परिदृश्यों में सटीक गणनाएँ और संभाव्यता संवर्गियों को सक्षम बनाता है। ओवरलैपिंग समुच्चयों के सावधानीपूर्वक आवेदन और विचार से, यह सिद्धांत गणित और संबंधित क्षेत्रों के कई समस्याओं को अधिक प्रबंधनीय बनाता है। विभिन्न और अधिक जटिल उदाहरणों के साथ अभ्यास करके, कोई सिद्धांत की यांत्रिकी और इसके विस्तृत अनुप्रयोगों को बेहतर ढंग से समझ सकता है।

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