आवृत्ति संबंध

गणित में आवृत्ति संबंध एक मौलिक अवधारणा है, विशेषकर संयोज्य गणित और विविक्त गणित के क्षेत्रों में। ये अनुक्रमों को समझने और कंप्यूटर विज्ञान में एल्गोरिदम का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक हैं। एक आवृत्ति संबंध एक समीकरण है जो एक अनुक्रम या बहुआयामी सरणी को पुनरावृत्त तरीके से परिभाषित करता है। दिए गए एक या अधिक प्रारंभिक पदों से, अनुक्रम के प्रत्येक अगले पद को पिछले पदों के कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।

आवृत्ति संबंधों का परिचय

संख्याओं के अनुक्रम को अक्सर प्रत्येक तत्व को पहले के तत्वों के रूप में व्यक्त करके वर्णित किया जा सकता है। ऐसी अभिव्यक्ति को आवृत्ति संबंध कहा जाता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम {a_n} के लिए आवृत्ति संबंध एक समीकरण है जो अनुक्रम के n पद a_n को पहले के एक या अधिक पदों जैसे a_{n-1}, a_{n-2} आदि के संदर्भ में व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध फिबोनैचि अनुक्रम निम्नलिखित आवृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित होता है:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

प्रारंभिक स्थितियों के साथ:

F(0) = 0, F(1) = 1

यहां, प्रत्येक पद को उसे पहले के दो पदों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है।

आवृत्ति संबंधों के प्रकार

रेखीय आवृत्ति संबंध

एक रैखीय आवृत्ति संबंध वह होता है जिसमें प्रत्येक पद पहले के पदों का रैखीय संयोजन होता है। गुणांक स्थायी होते हैं। उदाहरण के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज को दर्शाने वाला अनुक्रम एक रैखीय आवृत्ति संबंध होता है।

समरूप आवृत्ति संबंध

एक आवृत्ति संबंध समरूप होता है यदि इसे इस रूप में लिखा जा सके:

a_n = c_1 * a_{n-1} + c_2 * a_{n-2} + ... + c_k * a_{nk}

जहां c_1, c_2, ..., c_k स्थिरांक होते हैं। फिबोनैचि अनुक्रम एक समरूप रैखीय आवृत्ति संबंध है।

असमरूप आवृत्ति संबंध

एक असमरूप आवृत्ति संबंध उन पदों से बना होता है जो पूर्ववर्ती पदों के रैखीय संयोजन नहीं होते। एक उदाहरण है:

a_n = a_{n-1} + n^2

जिसमें अतिरिक्त पद n^2 शामिल होता है।

आवृत्ति संबंधों का समाधान

आवृत्ति संबंध का समाधान निकालने का अर्थ होता है एक सूत्र, जिसे बंद रूप कहते हैं, जो अनुक्रम के nवां पद को केवल n के संदर्भ में परिभाषित करता है। आवृत्ति संबंधों को हल करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग किया जाता है, जिनमें पुनरावृत्ति, वैधिक समीकरण, और उत्पन्न करने वाले कार्य शामिल हैं।

पुनरावृत्ति विधि

पुनरावृत्ति विधि में आवृत्ति संबंध को कदम दर कदम विस्तार करना शामिल होता है ताकि a_n को प्रारंभिक स्थितियों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सके और फिर एक पैटर्न ढूंढा जा सके। निम्नलिखित आवृत्ति संबंध पर विचार करें:

a_n = 2a_{n-1} + 3

प्रारंभिक स्थिति से शुरू करते हुए, जैसे a_0 = 1, हम गणना करते हैं:

a_1 = 2*1 + 3 = 5 a_2 = 2*5 + 3 = 13 a_3 = 2*13 + 3 = 29

पैटर्न को देखें और इसे एक सूत्र का उपयोग करके वर्णन करने का प्रयास करें।

वैधिक समीकरण विधि

रेखीय समरूप आवृत्ति संबंधों के लिए, हम अक्सर वैधिक समीकरण दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं। यदि आवृत्ति संबंध है:

a_n = c_1 * a_{n-1} + c_2 * a_{n-2} + ... + c_k * a_{nk}

हम समाधान के रूप में a_n = r^n मानते हैं, जो निम्नलिखित वैधिक समीकरण देता है:

r^n = c_1 * r^{n-1} + c_2 * r^{n-2} + ... + c_k * r^{nk}

इसे सरल बनाने से r के संदर्भ में एक बहुपद प्राप्त होता है। इस बहुपद को हल करके जड़ों का उपयोग करके सामान्य समाधान लिखा जाता है।

उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन

उत्पन्न करने वाले कार्य एक आवृत्ति संबंध को एक बीजगणितीय समीकरण में बदल देते हैं। अनुक्रम {a_n} के लिए उत्पन्न करने वाला कार्य एक औपचारिक घात श्रृंखला है:

G(x) = a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2 + ... + a_n * x^n + ...

श्रृंखला में हेरफेर करके, हम a_n के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

आवृत्ति संबंधों के उदाहरण

उदाहरण 1: फिबोनैचि संख्या

एक पारंपरिक उदाहरण फिबोनैचि अनुक्रम है, जो निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:

F(n) = F(n-1) + F(n-2) F(0) = 0, F(1) = 1

प्रारंभिक कुछ पद हैं: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

उदाहरण 2: फैक्टोरियल

फैक्टोरियल फ़ंक्शन, जिसे n! के रूप में लिखा जाता है, को पुनरावृत्त रूप से इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

n! = n * (n-1)! 0! = 1

यह एक साधारण रैखीय आवृत्ति संबंध है।

उदाहरण 3: हनोई के टॉवर

हनोई टॉवर की समस्या, जिसमें डिस्क के स्टैक को स्थानांतरित करना शामिल होता है, निम्नलिखित संबंध के साथ पुनरावृत्त रूप से हल की जाती है:

T(n) = 2T(n-1) + 1 T(1) = 1

यहां, T(n) न्यूनतम चित्रणों की संख्या है जो n डिस्क को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक है।

दृश्य उदाहरण

फिबोनैचि अनुक्रम का दृश्यीकरण

फिबोनैचि अनुक्रम और इसकी पुनरावृत्त प्रकृति को देखने पर विचार करें।

उपरोक्त दृश्य अनुक्रम ब्लॉकों का प्रतिनिधित्व करता है, और इसके विस्तार की पुनरावृत्त प्रकृति का प्रदर्शन करता है।

निष्कर्ष

आवृत्ति संबंध जटिल अनुक्रमों और एल्गोरिदम प्रदर्शन को समझने के लिए शक्तिशाली उपकरण हैं। अनुक्रमों में पदों को पुनरावृत्त रूप से व्यक्त करके, वे प्रणालियों के व्यवहार में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं, जो उन्हें सैद्धांतिक और लागू गणित दोनों में अनिवार्य बनाते हैं।

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