Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Relación de recurrencia


Las relaciones de recurrencia son un concepto fundamental en matemáticas, particularmente en los campos de la combinatoria y las matemáticas discretas. Son esenciales para comprender secuencias y analizar algoritmos en ciencias de la computación. Una relación de recurrencia es una ecuación que define recursivamente una secuencia o una matriz multidimensional de valores. Dados uno o más términos iniciales, cada término subsiguiente de la secuencia se define como una función de los términos anteriores.

Introducción a las relaciones de recurrencia

Las secuencias numéricas a menudo pueden describirse expresando cada elemento en términos de elementos anteriores. Tal expresión se conoce como una relación de recurrencia. Formalmente, la relación de recurrencia para una secuencia {a_n} es una ecuación que expresa el término n de la secuencia a_n en términos de uno o más de los términos previos, tales como a_{n-1}, a_{n-2}, etc.

Por ejemplo, la conocida secuencia de Fibonacci se define por la relación de recurrencia:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

con condiciones iniciales:

F(0) = 0, F(1) = 1

Aquí, cada término se define como la suma de los dos términos que lo preceden.

Tipos de relaciones de recurrencia

Relaciones de recurrencia lineales

Una relación de recurrencia lineal es aquella en la que cada término es una combinación lineal de los términos anteriores. Los coeficientes son constantes. Por ejemplo, la secuencia que describe el interés compuesto es una relación de recurrencia lineal.

Relaciones de recurrencia homogéneas

Una relación de recurrencia es homogénea si puede escribirse en la forma:

a_n = c_1 * a_{n-1} + c_2 * a_{n-2} + ... + c_k * a_{nk}

donde c_1, c_2, ..., c_k son constantes. La secuencia de Fibonacci es una relación de recurrencia lineal homogénea.

Relaciones de recurrencia no homogéneas

Una relación de recurrencia no homogénea consiste en términos que no son combinaciones lineales de términos precedentes. Un ejemplo es:

a_n = a_{n-1} + n^2

que incluye el término extra n^2.

Solución de las relaciones de recurrencia

Resolver una relación de recurrencia implica encontrar una fórmula, llamada la forma cerrada, que define el término enésimo de la secuencia en términos de n solamente. Se utilizan varios métodos para resolver relaciones de recurrencia, incluyendo la iteración, ecuaciones características y funciones generadoras.

Método iterativo

El método iterativo involucra expandir la relación de recurrencia paso a paso de manera que a_n pueda expresarse en términos de condiciones iniciales y luego encontrar un patrón. Considere la relación de recurrencia:

a_n = 2a_{n-1} + 3

Comenzando desde la condición inicial, digamos a_0 = 1, calculamos:

a_1 = 2*1 + 3 = 5 a_2 = 2*5 + 3 = 13 a_3 = 2*13 + 3 = 29

Observe el patrón e intente describirlo usando una fórmula.

Método de la ecuación característica

Para las relaciones de recurrencia lineales y homogéneas, a menudo podemos usar el enfoque de la ecuación característica. Si la relación de recurrencia es:

a_n = c_1 * a_{n-1} + c_2 * a_{n-2} + ... + c_k * a_{nk}

Consideramos una solución de la forma a_n = r^n, la cual da la siguiente ecuación característica:

r^n = c_1 * r^{n-1} + c_2 * r^{n-2} + ... + c_k * r^{nk}

Simplificar esto da un polinomio en términos de r. Resolver este polinomio da las raíces que se utilizan para escribir la solución general.

Función generadora

Las funciones generadoras convierten una relación de recurrencia en una ecuación algebraica. La función generadora para la secuencia {a_n} es una serie de potencias formal:

G(x) = a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2 + ... + a_n * x^n + ...

Manipulando la serie, podemos obtener una fórmula para a_n.

Ejemplos de relaciones de recurrencia

Ejemplo 1: Números de Fibonacci

Un ejemplo clásico es la secuencia de Fibonacci, que se define como:

F(n) = F(n-1) + F(n-2) F(0) = 0, F(1) = 1

Los primeros términos son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Ejemplo 2: Factorial

La función factorial, escrita como n!, se puede definir recursivamente como:

n! = n * (n-1)! 0! = 1

Esta es una simple relación de recurrencia lineal.

Ejemplo 3: Torres de Hanói

El problema de las Torres de Hanói, que involucra mover una pila de discos, se resuelve recursivamente con la siguiente relación:

T(n) = 2T(n-1) + 1 T(1) = 1

Aquí, T(n) es el número mínimo de movimientos requeridos para mover n discos.

Ejemplo visual

Visualizando la secuencia de Fibonacci

Considere observar la secuencia de Fibonacci y su naturaleza recursiva.

11235

La secuencia visual anterior representa los bloques y demuestra la naturaleza recursiva de su expansión.

Conclusión

Las relaciones de recurrencia son herramientas poderosas para comprender secuencias complejas y el rendimiento de los algoritmos. Al expresar términos en secuencias recursivas, proporcionan información sobre el comportamiento de los sistemas, haciéndolas indispensables tanto en matemáticas teóricas como aplicadas.


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