Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Permutación y combinación


En el fascinante mundo de las matemáticas discretas, dos conceptos fundamentales - permutaciones y combinaciones - juegan un papel vital en la comprensión de cómo podemos contar y organizar los diversos elementos en un conjunto. Estas ideas básicas no solo son útiles en teorías matemáticas puras, sino que también encuentran amplias aplicaciones en estadística, ciencias de la computación, criptografía y otros campos.

Comprendiendo lo básico

Antes de profundizar en permutaciones y combinaciones, definamos lo que intuitivamente significa cada uno:

  • Permutación se refiere a las diferentes maneras en que los objetos o números pueden ser organizados u ordenados.
  • Combinaciones son diferentes formas de seleccionar elementos de un conjunto, donde el orden no importa.

Para entender estos conceptos, comprendamos cada uno paso a paso y revisemos definiciones, fórmulas y ejemplos para ver cómo difieren.

Permutación

Una permutación es una disposición de todos o parte de un grupo de objetos, con respecto al orden de la disposición. El ejemplo más simple de una permutación es la disposición de números. Por ejemplo, dados los números 1, 2 y 3, las permutaciones de estos tres podrían ser: 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Tenga en cuenta que cambiar el orden produce una disposición diferente, por lo tanto, una permutación diferente.

Expresión matemática de permutación

Generalmente, si tenemos un conjunto de n elementos diferentes y queremos saber de cuántas maneras podemos disponer r de los n elementos, usamos permutaciones. La fórmula para permutaciones, usualmente denotada como P(n, r) o nPr, se da como:

P(n, r) = n! / (n-r)!

donde n! (n factorial) es el producto de todos los enteros positivos hasta n.

Ejemplo de permutación

Considere un ejemplo para entender mejor este concepto:

Suponga que queremos saber de cuántas maneras podemos disponer 3 de 5 libros en un estante. Aquí, n = 5 y r = 3 Usando la fórmula de permutación:

P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 60

Por lo tanto, hay 60 maneras diferentes de disponer 3 de 5 libros en un estante.

Ejemplo visual de permutación

Para ver esto, considere el conjunto de letras {A, B, C}. Las permutaciones de este conjunto son:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Como se ve, cada disposición es diferente debido a la importancia del orden en la permutación.

Combinación

En la combinación, se presta atención a la selección de objetos, no a su orden. Esto significa que en combinación, solo se presta atención a la presencia de objetos, no a su disposición.

Expresión matemática de combinaciones

La fórmula de combinación, tradicionalmente denotada C(n, r) o nCr, es:

C(n, r) = n! / (r! (n-r)!)

Esta fórmula muestra la cantidad de maneras de seleccionar r elementos de un grupo de n elementos, independientemente del orden de selección.

Ejemplo de combinaciones

Por ejemplo, considere de cuántas maneras puede elegir 3 frutas de una canasta que contiene 5 frutas (manzanas, plátanos, cerezas, dátiles y bayas de saúco). Esto significa n = 5 y r = 3 aplicando la fórmula:

C(5, 3) = 5! / (3! x (5-3)!) = 5! / (3! x 2!) = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1 x 2 x 1) = 10

Por lo tanto, hay 10 maneras diferentes de elegir 3 frutas de un grupo de 5 frutas.

Ejemplo visual de combinaciones

Para explicar más, usemos el conjunto de letras {A, B, C} y elijamos 2 letras:

AB AC BC

Tenga en cuenta aquí que las combinaciones no consideran el orden de selección, por lo que AB es lo mismo que BA.

Diferencias principales entre permutación y combinación

Aunque las permutaciones y combinaciones pueden parecer similares, se diferencian fundamentalmente en función de si el orden importa o no:

  • En permutación, se consideran diferentes disposiciones y el orden en que se seleccionan los elementos es importante.
  • Combinación se enfoca solo en la selección de elementos, no en el orden.

Para ver esta diferencia importante, el número de permutaciones para los mismos valores de n y r suele ser mayor que el número de combinaciones.

Aplicaciones de permutaciones y combinaciones

Estos conceptos fundamentales de la combinatoria no son solo teóricos; también tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas del mundo real:

  • Criptografía: Las permutaciones son esenciales para crear algoritmos de cifrado complejos, que aseguran la seguridad de los datos al organizar caracteres en una secuencia particular.
  • Estadística: Las combinaciones son importantes en el diseño de estudios y experimentos al seleccionar grupos de muestra de una población más grande.
  • Ciencias de la computación: Tanto las permutaciones como las combinaciones se usan en algoritmos relacionados con técnicas de búsqueda y clasificación.

Temas avanzados en permutación y combinación

Para estudiantes de pregrado, las permutaciones y combinaciones son solo una puerta de entrada a temas más profundos de la combinatoria. Aquí hay algunos aspectos avanzados que se pueden entender en más detalle:

  • Permutaciones restringidas: Explorando escenarios donde ciertos elementos siempre deben o nunca deben aparecer en posiciones específicas.
  • Reconocedores combinatorial: Comprender los Coeficientes Binomiales y el Triángulo de Pascal para cálculos complejos.
  • Funciones generadoras: Utilizar expresiones algebraicas que codifican información sobre secuencias y pueden ayudar a resolver problemas combinatorios.

Conclusión

En conclusión, las permutaciones y combinaciones proporcionan un marco fundamental para contar y organizar objetos en matemáticas discretas. Las aplicaciones prácticas y la profundidad teórica de estos conceptos los convierten en herramientas esenciales en una variedad de campos matemáticos y aplicados. Al explorar y dominar estas ideas, puede comprender mejor la belleza y utilidad de las matemáticas para entender los sistemas complejos del mundo.


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