Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Дискретная математика → Теория графов ↓


Сетевой поток


В области теории графов сетевые потоки представляют собой мощные методы для понимания различных вопросов, связанных с сетями и системами. К ним относятся транспортные системы, сети связи, электрические сети и даже компьютерные сети. В основе теории сетевых потоков лежит поиск наиболее эффективного способа перемещения определенного количества данных через сеть от источника к пункту назначения.

Основы сетевого потока

Чтобы понять сетевой поток, лучше сначала понять, что такое потоковая сеть.

Потоковая сеть

Потоковая сеть — это ориентированный граф, где каждое ребро имеет емкость и каждое ребро получает поток. Потоки должны удовлетворять ограничениям емкости сети. Потоковая сеть имеет узел-источник s, где начинается поток, и узел-приемник t, где поток потребляется.

S T C(E)

На диаграмме выше показана простая потоковая сеть. Существует единственный путь от источника s к приемнику t, который имеет емкость c(e).

Значение потока

Значение потока f в потоковой сети — это общее количество потока, идущего от источника s к приемнику t.

f = sum_{(s, u) in E} f(s, u) - sum_{(v, s) in E} f(v, s)

Эта формула помогает вычислить поток от источника, учитывая вектор входного и выходного потока.

Ограничения емкости

Для каждого ребра (u, v) в сети поток f(u, v) должен быть меньше или равен его емкости c(u, v).

0 ≤ f(u, v) ≤ c(u, v)

Сохранение потока

Правило сохранения потока гласит, что для каждого узла, кроме s и t, количество входного потока равно количеству выходного потока.

sum_{(v, u) in E} f(v, u) = sum_{(u, w) in E} f(u, w)

Пример

Рассмотрим простую сеть с тремя узлами: источник s, промежуточный узел u и приемник t:

S U T 4 5 3

Емкости ребер (s, t), (s, u) и (u, t) равны 4, 5 и 3 соответственно. Задача состоит в том, чтобы максимизировать поток от s к t.

Алгоритм Эдмондса-Карпа

Алгоритм Эдмондса-Карпа представляет собой реализацию метода Форда-Фалкерсона для вычисления максимального потока в потоковых сетях. Он использует поиск в ширину (BFS) для поиска увеличивающих путей.

Шаги алгоритма

1. Начните поток с f 0.
2. Пока существует увеличивающий путь, используя BFS:
a. Найдите максимальный поток c_f(p) вдоль пути p.
b. Увеличьте поток вдоль пути.
c. Обновите остаточные емкости вдоль пути.
3. Вернуть поток f.

Работа алгоритма

Давайте используем простой пример, чтобы увидеть, как работает алгоритм.

S U V T W X 3 4 3 6 5 8

В этом примере начнем с выполнения BFS от источника s к приемнику t. BFS выбирает путь s - u - v - t с узким местом емкости 3. Увеличьте поток и обновите сеть. Повторяя эти шаги, увеличивайте поток настолько, насколько это позволяет сеть.

Концепции остаточных сетей

Остаточные сети играют важную роль в проведении анализа и поиске путей улучшения. Остаточные сети фиксируют разницу между исходными емкостями и текущими значениями потока.

Остаточная емкость

Ребро (u, v) c_f(u, v) рассчитывается как:

c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v)

Кроме того, если f(u, v) > 0, c_f(v, u) = f(u, v) Это учитывает возможность уменьшения потока по обратным ребрам, что важно для поиска увеличивающих путей.

Остаточная сеть

Остаточная сеть включает только ребра с положительной остаточной емкостью. Ребра с нулевой остаточной емкостью не влияют на поток и не включаются в эту сеть.

S U V T W X 0 1 2 0 1 5

На вышеуказанной остаточной сети красные линии представляют собой ребра, которые имеют нулевую емкость и, следовательно, не могут быть использованы в будущих вычислениях.

Применение сетевых потоков

Применение сетевых потоков широко и может быть использовано для оптимизации систем как в технологическом, так и в социальном контексте.

1. Транспортировка и логистика

Управление автопарком и оптимизация доставки грузов часто зависят от того, насколько эффективно перемещаются товары по сети.

2. Интернет-трафик

Маршрутизация и управление пакетами данных используют принципы сетевого потока для уменьшения перегрузок в сети и обеспечения надежной связи.

3. Система водоснабжения

Управление водораспределительными системами основано на моделях сетевых потоков для оптимизации распределения и удовлетворения спроса без превышения емкости.

4. Распределение энергии

Для обеспечения стабильного снабжения и контроля потока на электрических сетях необходимо использовать принципы сетевого потока для предотвращения перегрузки цепей.

Проблемы и ограничения

Несмотря на свою полезность, сетевые потоки иногда сталкиваются с проблемами масштабируемости в чрезвычайно больших и сложных сетях, где необходимо использовать оценку с помощью эвристических методов.

Компьютерная сложность

Вычисления с очень большими сетями требуют существенных ресурсов, поэтому необходимо отдавать приоритет эффективным алгоритмам, таким как алгоритм Эдмондса-Карпа.

Динамическое преобразование сетей

Адаптация в реальном времени инфраструктуры сетей, такая как отказ или техническое обслуживание, требует динамического пересмотра потоковых моделей.

Чтобы решить эти проблемы, гибридные подходы используют машинное обучение для прогнозирования изменений спроса и предложения сетей и соответствующей адаптации.

Заключение

Короче говоря, изучение сетевых потоков сочетает в себе теоретическую красоту с практическим применением, используя математическую основу для решения реальных проблем. Благодаря использованию таких алгоритмов, как Эдмондс-Карп, и концептуальной структуры остаточных сетей, мы лучше подготовлены к проектированию, анализу и оптимизации эффективности взаимосвязанных систем.


Магистратура → 10.1.4


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (10.1.3)
Алгоритм поиска кратчайшего пути
следующая (10.2) →
Компаньонство

комментарии 



Сетевой поток

https://www.buddymath.com/g/10.1.4?bmal=ru