Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Planicidade e cor


A teoria dos grafos é um campo importante dentro da matemática discreta, lidando com grafos que são estruturas usadas para modelar relações emparelhadas entre objetos. Nesse vasto campo, dois conceitos essenciais são planicidade e coloração de grafos. Compreender esses conceitos oferece insights sobre como podemos visualizar e colorir grafos de maneira que satisfaça as propriedades matemáticas exigidas.

Planicidade em grafos

Um grafo é planar se ele pode ser desenhado no plano sem que nenhuma de suas arestas se cruze. A planitude é importante porque determina se um grafo pode ser representado no espaço bidimensional sem interseções, o que é particularmente útil no desenho de circuitos, cartografia e mais.

Para determinar se um grafo é planar, usamos o Teorema de Kuratowski, que afirma:

Um grafo finito é planar se e somente se ele não contém nenhum subgrafo que seja uma subpartição do grafo completo K 5 (um grafo completo em cinco vértices) ou do grafo bipartido completo K 3,3 (um grafo bipartido com dois conjuntos de três vértices).

K5 e K3,3

O grafo K 5 e o grafo K 3,3 são importantes para compreender a planitude do grafo:

K 5 : Um grafo no qual 5 vértices estão conectados entre si, resultando em 10 arestas.


    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    



K 3,3 : um grafo bipartido com dois conjuntos de três vértices, de forma que cada vértice de um conjunto está conectado a todos os vértices do outro conjunto.

Teste de planicidade

Para determinar se um grafo é planar, precisamos verificar se há um subgrafo congruente a K 5 ou K 3,3. Se qualquer um desses existir, o grafo é não-planar. O algoritmo mais comum usado para verificar a planicidade é o algoritmo de teste de planicidade, que usa a partição recursiva do grafo para encontrar subdivisões de um grafo não-planar.

Tente desenhar um grafo sem cruzamentos e use a verificação de subgrafo para grafos com menos de 10 vértices:

1. Tente exibir o grafo em um plano.
2. Se isso for difícil, use o teorema de Kuratowski para descobrir se existem subdivisões de K 5 ou K 3,3.
3. Se uma subdivisão for encontrada, então o grafo é não-planar.

Coloração de grafos

A coloração de grafos envolve atribuir cores aos elementos do grafo sob restrições específicas. A mais comum é a coloração de vértices, que visa colorir os vértices de forma que dois vértices adjacentes não compartilhem a mesma cor. O número mínimo de cores necessário para tal coloração de um grafo é o número cromático do grafo, geralmente denotado como χ(G).

Princípios básicos de coloração

A forma mais simples de coloração de grafos é uma coloração própria, que usa apenas o básico de garantir que vértices adjacentes tenham cores distintas. Um teorema essencial relacionado à coloração de grafos é o teorema das quatro cores, que afirma que qualquer grafo planar pode ser colorido usando no máximo quatro cores.

Exemplos de coloração de grafos

Exemplo 1: Colorir o grafo ciclo C 4

Aqui, usamos apenas duas cores (vermelho e azul) para garantir que dois vértices adjacentes não compartilhem a mesma cor.

Exemplo 2: Colorir um grafo completo K 3

Em um grafo completo K n, todos os vértices estão conectados a todos os outros vértices. Portanto, devemos usar n cores diferentes. Neste caso, K 3 requer três cores diferentes: vermelho, azul e verde.

Aplicações da coloração de grafos

A coloração de grafos tem uma variedade de aplicações, estendendo-se além dos exercícios teóricos para problemas práticos, tais como:

  • Atribuição de recursos (por exemplo, alocação de registradores no compilador)
  • Problemas de agendamento (assegurando que duas tarefas sobrepostas não compartilhem os mesmos recursos)
  • Problemas de determinação de frequências (atribuindo frequências a transmissores de forma que minimize frequências sobrepostas)

Através dessas aplicações, a utilidade disseminada e a praticidade da coloração de grafos em otimizar o uso eficiente de recursos se tornam evidentes.

Conclusão

Planicidade e coloração são conceitos fundamentais na teoria dos grafos, que impactam significativamente a teoria matemática e as aplicações práticas. Compreender quais grafos podem ser embutidos no plano sem cruzamentos e como eles podem ser coloridos para satisfazer restrições proporciona uma estrutura fundamental para resolver problemas complexos em uma variedade de domínios. Dominar esses conceitos permite que matemáticos e cientistas de computação lidem com modelos complexos de rede e relacionais com confiança e eficiência.


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Planicidade e cor

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