Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Llanura y color


La teoría de grafos es un campo importante dentro de las matemáticas discretas, que se ocupa de grafos que son estructuras utilizadas para modelar relaciones emparejadas entre objetos. En este vasto campo, dos conceptos esenciales son llanura y coloración de grafos. Comprender estos conceptos proporciona una visión de cómo podemos ver y colorear grafos de una manera que satisfaga las propiedades matemáticas requeridas.

Llanura en grafos

Un grafo es plano si se puede dibujar en un plano sin que ninguna de sus aristas se crucen entre sí. La planaridad es importante porque determina si un grafo puede representarse en un espacio bidimensional sin intersecciones, lo cual es particularmente útil en el diseño de circuitos, cartografía, y más.

Para determinar si un grafo es plano, utilizamos el teorema de Kuratowski, que indica:

Un grafo finito es plano si y solo si no contiene ningún subgrafo que sea una subpartición del grafo completo K 5 (un grafo completo en cinco vértices) o el grafo bipartito completo K 3,3 (un grafo bipartito con dos conjuntos de tres vértices).

K5 y K3.3

El grafo K 5 y el grafo K 3,3 son importantes para comprender la llanura de los grafos:

K 5 : Un grafo en el que 5 vértices están conectados entre sí, resultando en 10 aristas.


    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    



K 3,3 : un grafo bipartito con dos conjuntos de tres vértices, de modo que cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.

Prueba de llanura

Para determinar si un grafo es plano, necesitamos verificar si hay un subgrafo congruente a K 5 o K 3,3. Si existe cualquiera de estos, el grafo no es plano. El algoritmo más común utilizado para verificar la planaridad es el algoritmo de prueba de planaridad, el cual utiliza particiones recursivas del grafo para encontrar subdivisiones de un grafo no plano.

Intenta dibujar un grafo sin cruces y usa la verificación de subgrafos para grafos con menos de 10 vértices:

1. Trata de mostrar el grafo en un plano.
2. Si esto es difícil, utiliza el teorema de Kuratowski para averiguar si existen subdivisiones de K 5 o K 3,3.
3. Si se encuentra una subdivisión, entonces el grafo no es plano.

Coloración de grafos

La coloración de grafos implica asignar colores a los elementos del grafo bajo restricciones específicas. La más común es la coloración de vértices, que busca colorear los vértices de modo que no haya dos vértices adyacentes que compartan el mismo color. El número mínimo de colores requerido para tal coloración de un grafo es el número cromático del grafo, generalmente denotado como χ(G).

Principios básicos de la coloración

La forma más simple de coloración de grafos es una coloración correcta, que utiliza solo lo básico para asegurar que los vértices adyacentes tengan colores distintos. Un teorema esencial relacionado con la coloración de grafos es el teorema de los cuatro colores, que indica que cualquier grafo plano puede colorearse usando un máximo de cuatro colores.

Ejemplos de coloración de grafos

Ejemplo 1: Colorea el grafo cíclico C 4

Aquí, utilizamos solo dos colores (rojo y azul) para asegurar que no haya dos vértices adyacentes que compartan el mismo color.

Ejemplo 2: Colorea un grafo completo K 3

En un grafo completo K n, cada vértice está conectado a todos los demás vértices. Por lo tanto, debemos usar n colores diferentes. En este caso, K 3 requiere tres colores diferentes: rojo, azul y verde.

Aplicaciones de la coloración de grafos

La coloración de grafos tiene una variedad de aplicaciones, que se extienden más allá de los ejercicios teóricos a problemas prácticos, tales como:

  • Asignación de recursos (por ejemplo, asignación de registros en el compilador)
  • Problemas de programación (asegurar que no haya dos tareas superpuestas que compartan los mismos recursos)
  • Problemas de determinación de frecuencias (asignación de frecuencias a transmisores de manera que minimicen frecuencias superpuestas)

A través de estas aplicaciones, la utilidad y practicidad generalizadas de la coloración de grafos en la optimización del uso eficiente de recursos se hacen evidentes.

Conclusión

La planaridad y la coloración son conceptos fundamentales en la teoría de grafos, que impactan significativamente la teoría matemática y las aplicaciones prácticas. Comprender qué grafos se pueden incrustar en el plano sin cruces y cómo se pueden colorear para satisfacer restricciones proporciona un marco fundamental para resolver problemas complejos en una variedad de dominios. Dominar estos conceptos permite a matemáticos y científicos computacionales manejar modelos de redes y relaciones complejas con confianza y eficiencia.


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