Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Introducción al análisis real → Análisis funcional ↓


Espacios de Hilbert


Los espacios de Hilbert juegan un papel fundamental en el análisis funcional y en varias ramas de las matemáticas y la física. Proporcionan un marco enriquecido que generaliza la noción de espacio euclidiano a dimensiones infinitas. Comprender los espacios de Hilbert implica explorar conceptos abstractos como producto interno, ortogonalidad y completitud. Antes de profundizar en los espacios de Hilbert, recordemos algunos conceptos básicos de análisis real y espacios vectoriales.

Introducción a los espacios vectoriales

Primero, recuerda que un espacio vectorial es un conjunto de elementos, llamados vectores, equipados con dos operaciones: suma de vectores y multiplicación por escalares. Estas operaciones deben satisfacer ciertos axiomas, como conmutatividad, asociatividad, la propiedad distributiva, y la existencia de la identidad aditiva (vector cero) y el inverso aditivo.

Ejemplos de espacios vectoriales incluyen:

  • El conjunto R de todos los números reales, donde los vectores son números reales individuales.
  • El conjunto de todos los n-tuplas de números reales R^n, que corresponden a vectores normales en el espacio euclidiano.
  • El conjunto de todas las funciones continuas en un intervalo cerrado [a, b], con operaciones definidas puntualmente.

Espacio de producto interno

Un espacio de producto interno es un espacio vectorial equipado con una estructura adicional llamada producto interno. El producto interno es una función que toma dos vectores y devuelve un escalar, satisfaciendo ciertas propiedades como linealidad, simetría y positividad. En R^n, el producto interno estándar es el producto punto, que se define como:

(x, y) = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n

Propiedades del Producto Interno:

  • Linealidad: (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) para escalar a, b.
  • Simetría: (x, y) = (y, x)
  • Definición positiva: (x, x) ≥ 0 y (x, x) = 0 si y solo si x = 0.

Definición de espacio de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno completo. Esto significa que es un espacio vectorial dotado de un producto interno y, lo que es más importante, es completo con respecto a la norma inducida por el producto interno.

La norma de un vector x en el espacio de producto interno es |x|:

|x| = sqrt((x, x))

Completitud se refiere a la propiedad de que toda sucesión de Cauchy en un espacio converge a un elemento dentro del espacio. Una sucesión (x_n) en un espacio normado se llama sucesión de Cauchy si, para cada épsilon > 0, existe un entero N tal que para todos m, n > N,

|x_n - x_m| < epsilon

Ejemplos de espacios de Hilbert

Miremos algunos ejemplos para fortalecer nuestra comprensión.

Ejemplo 1: Espacio euclidiano R n

El espacio euclidiano R^n con el producto punto estándar es un ejemplo simple pero profundo de un espacio de Hilbert. La completitud en R^n proviene de la completitud de los números reales.

Considera los vectores x = (x_1, x_2, ..., x_n) y y = (y_1, y_2, ..., y_n). El producto punto o producto interno se da por:

(x, y) = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n

Ejemplo 2: Espacio de funciones L^2([a, b])

El espacio de funciones cuadrado-integrables, denotado L^2([a, b]), consta de todas las funciones f tales que:

∫_[a, b] |f(x)|^2 dx < ∞

En este espacio, el producto interno se define como:

(f, g) = ∫_[a, b] f(x)g(x) dx

L^2([a, b]) está equipado con un producto interno y es completo, formando así un espacio de Hilbert.

Interpretación geométrica

Es importante entender el espacio de Hilbert con conceptos geométricos. En el espacio de dimensiones finitas, vemos vectores como flechas dirigidas. Algunos de los conceptos geométricos clave en el espacio de Hilbert son los siguientes:

  • Longitud: La norma o longitud del vector x, denotada por |x|, es la distancia desde el origen hasta el punto final.
  • Distancia: La distancia entre dos vectores x e y está dada por su norma: |x - y|.
  • Ortogonalidad: Dos vectores x e y son ortogonales si su producto interno es cero: (x, y) = 0.
  • Proyección: Para un vector y sobre un vector x, usando el producto interno, se obtiene la proyección: proj_y(x) = ((x, y) / (y, y)) * y.

En dimensiones infinitas, aunque no tenemos flechas físicas, estos conceptos ayudan a analizar y comprender la "forma" y propiedades del espacio.

Base ortogonal y conjunto ortonormal

Cada espacio de Hilbert tiene una base, al igual que un espacio vectorial. Pero, en el contexto de un espacio de Hilbert, estas bases pueden ser infinitamente grandes y ortogonales, simplificando muchos problemas.

Un conjunto ortogonal {x_n} en un espacio de Hilbert es un conjunto donde cada par de vectores distintos es ortogonal.

Un conjunto es ortonormal si es ortogonal y todos los vectores tienen norma unitaria: |x_n| = 1.

Un conjunto ortonormal {e_n} es completo en un espacio de Hilbert H si cada vector x en H puede expresarse de manera única como:

x = Σ (x, e_n) e_n

Ejemplo: Base ortonormal en L^2([0, 2π])

El conjunto de funciones {1/√(2π), sin(nx)/√π, cos(nx)/√π} para n = 1, 2, 3, ... forma una base ortonormal para L^2([0, 2π]). En este espacio, la función f puede expresarse como:

f(x) = a_0/√(2π) + Σ (a_n sin(nx)/√π + b_n cos(nx)/√π)

donde los coeficientes a_n y b_n pueden encontrarse usando las correspondientes fórmulas de la serie de Fourier.

Aplicación del espacio de Hilbert

La versatilidad de los espacios de Hilbert los hace importantes en matemáticas y física:

  • Mecánica cuántica: Los espacios de Hilbert proveen el fundamento matemático para la mecánica cuántica, representando estados cuánticos como vectores en un espacio de Hilbert complejo.
  • Procesamiento de señales: Las funciones en el espacio L^2 representan señales que se analizan usando transformadas de Fourier.
  • Optimización: Conceptos como la proyección ortogonal se utilizan en métodos de mínimos cuadrados, los cuales son importantes en estadística y ajuste de datos.

Conclusión

Los espacios de Hilbert amplían nuestra comprensión de la geometría y el análisis a dimensiones infinitas, vinculando teorías algebraicas, analíticas y geométricas. Su completitud y versatilidad sustentan teorías y aplicaciones importantes en matemáticas y ciencias, proporcionando un marco riguroso para explorar y resolver problemas complejos. A medida que profundices en matemáticas superiores, encontraras espacios de Hilbert en muchas áreas, cada una de las cuales revela nuevos conocimientos y perspectivas.


Posgrado → 1.6.2


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (1.6.1)
Comprendiendo los espacios de Banach
Siguiente (1.6.3) →
Operadores en espacios

Comentarios 



Espacios de Hilbert

https://www.buddymath.com/g/1.6.2?bmal=es