स्नातकोत्तर → वास्तविक विश्लेषण का परिचय → एकीकरण ↓
अनुचित समाकलन
कलन में, समाकलन सतत अंतरालों पर कार्यों के व्यवहार को समझने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। जबकि निश्चित समाकलन आमतौर पर सीमित अंतरालों पर गणना की जाती हैं, अनुचित समाकलन इस अवधारणा को अनिश्चित या समाकलनी में एकविमातों के मामलों को समायोजित करने के लिए विस्तारित करते हैं।
अनुचित समाकलनों का परिचय
किसी समाकलन को अनुचित कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित विशेषताओं में से कोई भी प्रदर्शित करता है:
- समाकलन का अंतराल अनंत है।
- समाकलन क्षेत्र के भीतर समाकलन अनंत हो जाता है।
किसी अनुचित समाकलन का सफलतापूर्वक मूल्यांकन करने के लिए, हम सीमाओं की अवधारणा का उपयोग करते हैं, जो हमें संभावित रूप से अप्राप्य मानों के पास जाने और कार्यों के उनके असमजिक सीमाओं पर व्यवहार को समझने की अनुमति देता है।
अनुचित समाकलनों के प्रकार
अनुचित समाकलनों के मुख्य रूप से दो प्रकार होते हैं, अनुचित समाकलन के कारण पर निर्भर करता है:
1. अनंत अंतराल पर समाकलन
ये समाकलन तब उत्पन्न होते हैं जब अंतराल अनंत तक फैला होता है। एक सामान्य उदाहरण है:
∫ a ∞ f(x) dxइसे हल करने के लिए, हम इसे परिभाषित करते हैं:
∫ a ∞ f(x) dx = lim b→∞ ∫ a b f(x) dxउदाहरण:
इस समाकलन को विचार करें:
∫ 1 ∞ 1/x² dxइसे सीमा परिभाषा का उपयोग करके गणना करें:
∫ 1 b 1/x² dx = [-1/x] 1 b = (-1/b) - (-1/1) = 1 - 1/bजब b अनंत की ओर जाता है:
lim b→∞ (1 - 1/b) = 1इसलिए, ∫ 1 ∞ x -2 dx = 1।
2. अनंत असंयोजकताओं वाले समाकलन
ये वे समाकलन होते हैं जहां समाकलनकर्ता का एकविमता होता है, जिसका अर्थ है कि कार्य समाकलन सीमाओं के भीतर अनंत हो जाता है।
∫ a b f(x) dx, जहाँ f(x) → ∞ जैसा कि x → c और a ≤ c ≤ bयहां, समस्या को विभाजन और सीमाओं के माध्यम से हल किया जाता है। विचार करें कि a से c और c से b की सीमा से समाकलन करें, और प्रत्येक भाग के अनुचित व्यवहार को सीमाओं के साथ लिया जाता है।
उदाहरण:
विचार करें:
∫ 0 1 1/√x dxयहां, 1/√x अनंत की ओर जाता है जैसे ही x 0 की ओर जाता है। इसलिए इसे इस तरह हल करें:
∫ 0 1 1/√x dx = lim ε→0⁺ ∫ ε 1 1/√x dxसीमा के भीतर गणना करें:
∫ ε 1 1/√x dx = [2√x] ε 1 = 2√1 - 2√ε = 2 - 2√εजैसे ही ε 0 की ओर जाता है:
lim ε→0⁺ (2 - 2√ε) = 2इसलिए, ∫ 0 1 1/√x dx = 2।
समेकन और विचलन
अनुचित समाकलनों का समेकन के लिए परीक्षण करना आवश्यक है। यदि संबंधित सीमा मौजूद है और परिणाम एक सीमित संख्या है, तो अनुचित समाकलन को संगठित कहा जाता है। अन्यथा, समाकलन वित्यमान है।
संयोजन परीक्षण
संयोजन परीक्षण के कई तरीके हैं:
1. तुलना परीक्षण
इसमें, विचाराधीन समाकलन की तुलना कुछ अन्य समाकलन के साथ की जाती है, जिसका संयोजन व्यवहार ज्ञात होता है।
यदि 0 ≤ f(x) ≤ g(x) सभी x के लिए [a, ∞] में है, और ∫ a ∞ g(x) dx संगठित है, तो ∫ a ∞ f(x) dx भी संगठित है।
उदाहरण:
संगठन की जांच करें ∫ 1 ∞ 1/(x³ + 1) dx।
तुलना करें ∫ 1 ∞ 1/x³ dx के साथ। चूंकि 1/(x³ + 1) ≤ 1/x³ और ∫ 1 ∞ 1/x³ dx संगठित है, तो ∫ 1 ∞ 1/(x³ + 1) dx संगठित है।
2. सीमा तुलना परीक्षण
यह सीमाओं की जांच करने के लिए शामिल है:
lim x→∞ f(x)/g(x) = L (एक सकारात्मक और सीमित संख्या)फिर ∫ a ∞ f(x) dx और ∫ a ∞ g(x) dx या तो दोनों संगठित होंगे या दोनों वित्यमान होंगे।
दृश्य व्याख्याएँ
कार्य 1/x² पर विचार करें जिसे हमने पहले 1 से ∞ तक समाकलित किया था। आइए वक्र के नीचे के क्षेत्र का दृश्यांकन करें:
वक्र में घटाव होता है, और वक्र के नीचे का क्षेत्र 1 से b तक (जब b → ∞) एक सीमित क्षेत्र बनता है, जो समाकलन के संयोजन की पुष्टि करता है।
अनुचित समाकलनों के अनुप्रयोग
अनुचित समाकलनों का विस्तृत प्रयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, और संभाव्यता सिद्धांत जैसे विभिन्न क्षेत्रों में होता है।
भौतिकी में
अनुचित समाकलनों का अक्सर गुरुत्वाकर्षण बलों और विद्युतीय स्थिर क्षमता की गणना में उपयोग होता है। उदाहरण के लिए, विद्युतस्थैतिक में, एक असीमित लंबी चार्ज की गई रॉड के कारण एक बिंदु पर संभावितता एक अनुचित समाकलन है।
संभाव्यता में
अनुचित समाकलन संभाव्यता वितरण में अनुयुक्त मूल्य और विचरण का निर्धारण करने में मदद करते हैं। उदाहरण के लिए, नकारात्मक और सकारात्मक अनंत्विता से सामान्य वितरण का समाकलन एक अनुचित समाकलन है जो कि एक तक जोड़ता है, यह सुनिश्चित करता है कि यह एक वैध संभाव्यता वितरण है।
अब सोचें कि रेडियोधर्मी क्षय या इलेक्ट्रॉनिक में अपनी दिशा के क्षय के मॉडल के अनुपात में:
P(t) = P₀ e -λtइस मॉडल के अनुक्रम के एक संभावित अनंत समय अवधि में व्यवहार को समझना इसके परिभाषित कार्य के अनुचित समाकलनों का मूल्यांकन करने में शामिल हो सकता है।
वास्तविक दुनिया में अनुचित समाकलनों की गणना
वास्तविक दुनिया की परिस्थितियों में अक्सर अनंत अनुक्रमों या अनंत स्थानिक आयामों का मूल्यांकन करने की आवश्यकता होती है। अनुचित समाकलनों के द्वारा इन गणनाओं को संख्यात्मक या अनुभवजन्य रूप से अनुमानित करने के बजाय अपनी पद्धति से संगठित रूप से सरल बनाते हैं।
निष्कर्ष
अनुचित समाकलनों को समझना कई परिदृश्यों में समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण होता है जहाँ कार्य अनंत तक विस्तृत होते हैं या उनमें एकविमताएँ होती हैं। सीमाओं को जोड़कर, हम प्रबंधनीय रूप से विस्तृत या असंयोजक कार्यों द्वारा प्रस्तुत की जाने वाली चुनौतियों को पार करते हैं। हमने संयोजन परीक्षणों की भी खोज की जो इस प्रकार के समाकलनों की सोल्युशन योग्यता की पुष्टि करने में सहायक होते हैं, जो पाठ्य और प्रतीकात्मक उदाहरणों से समर्थित होते हैं। यह ज्ञान गणितज्ञों और वैज्ञानिकों को तात्त्विक समर्थन के साथ वास्तविक दुनिया की समस्याओं का समाधान करने की तैयारी प्रदान करता है, जो अनुचित समाकलनों से निपटने के माध्यम से सीखा गया है।
टिप्पणियाँ