黎曼积分与勒贝格积分

积分是数学中的一个基本概念，尤其是在实分析领域。它是一种让我们可以找到面积、体积、中心点及许多有用事物的过程。在实分析中，两种重要的积分类型是黎曼积分和勒贝格积分。每种方法都有其特定的处理方式，并根据函数的性质和应用情境而使用。

黎曼积分

黎曼积分以德国数学家伯恩哈德·黎曼命名，是最早和最简单的积分方法之一。它适用于分段连续函数，并提供了一种通过近似曲线下面积来执行积分的方法。黎曼积分的原理是将曲线下面积分割成我们可以计算的简单形状。

黎曼积分的定义

函数的黎曼积分是基于分割的概念定义的。区间[a, b]的分割P是一个有限数序列，满足：

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < ... < x _n = b

使用这个分割，我们在x值之间绘制一个矩形。对于每个子区间[x _i-1, x _i]，我们可以选择任意一点c _i，矩形的高度是f(c _i)，其中f是被积分的函数。

函数f在分割上的黎曼和定义为：

S(P) = Σ f(c _i)(x _i - x _i-1)

当子区间的宽度趋于零时，这个和的极限给我们黎曼积分：

∫ _a ^b f(x) dx = lim |P|→0 Σ f(c _i)(x _i - x _i-1)

这里|P|是分割中最大子区间的宽度。

黎曼积分的例子

考虑一个简单的例子：在区间[0, 1]上积分f(x) = x^2。为了找到黎曼积分，我们将区间[0,1]分成n等份，每部分的宽度为Δx = 1/n。

每个子区间的高度可以选择为(i/n)^2，其中i = 1, 2, ..., n。黎曼和为：

S(P) = Σ (i/n)^2 * 1/n = 1/n^3 Σ i²

当n → ∞时，这个和近似积分，得到：

∫ ₀ ¹ x² dx = lim n→∞ 1/n³ Σ i² = 1/3

勒贝格积分

勒贝格积分以Henri Lebesgue命名，将黎曼积分的思想扩展到更广泛的函数中。对于处理更复杂的函数，这种方法特别有用，包括那些不必连续的函数。

勒贝格积分的定义

与黎曼积分将定义域划分不同，勒贝格积分划分了函数的值域。这涉及到测量函数取某些值的定义域地区的大小。

对于在测度空间上定义的非负函数f，勒贝格积分通过检查分布函数F(y) = m({x : f(x) ≥ y})来定义，其中m是测度（通常是勒贝格测度）。

正规勒贝格积分表示为：

∫ f(x) dm = ∫ y dF(y)

其中右侧积分是黎曼–斯蒂尔特耶斯积分。

勒贝格积分的例子

考虑在区间[0, 1]上的有理数的特征函数，该函数在[0,1]内的有理数上为1，在无理数上为0。在黎曼积分中，由于在每个有理数点的不连续性，此函数几乎无法积分。然而，使用勒贝格积分：

有理数的勒贝格测度为零，因此积分值为

∫ ₀ ¹ χ _Q (x) dx = 0

这是一个简单的例子，展示了勒贝格方法的强大之处。它自然处理无限不连续性，因为它专注于点集的测度而不是它们的离散位置。