Интегрирование Римана и Лебега

Интегрирование — это фундаментальная концепция в математике, особенно в области реального анализа. Это процесс, который позволяет нам находить площадь, объем, центральную точку и многие полезные вещи. В реальном анализе существуют два важных типа интегрирования: интегрирование Римана и интегрирование Лебега. Каждый из них имеет свой специфический подход и используется в зависимости от природы функции и контекста, в котором она применяется.

Интегрирование Римана

Интегрирование Римана, названное в честь немецкого математика Бернхарда Римана, является одним из самых ранних и простейших методов интегрирования. Оно хорошо работает с кусочно-непрерывными функциями и предоставляет способ выполнения интегрирования путем аппроксимации площади под кривой. Идея интегрирования Римана заключается в аппроксимации площади под кривой путем разделения ее на более простые фигуры, площади которых мы можем рассчитать.

Определение интегрирования Римана

Интеграл Римана функции определяется на основе концепции разбиения. Разбиение P интервала [a, b] представляет собой конечную последовательность чисел, таких что:

a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = b

С использованием этого разбиения мы строим прямоугольник между значениями x. Для каждого подинтервала [x i-1, x i] мы можем выбрать любую точку c i, и высота прямоугольника равна f(c i), где f — функция, подлежащая интегрированию.

Сумма Римана для функции f по разбиению определяется как:

S(P) = Σ f(c i)(x i - x i-1)

Предел этой суммы при стремлении ширины подинтервалов к нулю дает нам интеграл Римана:

∫ a b f(x) dx = lim |P|→0 Σ f(c i)(x i - x i-1)

Здесь |P| — это норма или ширина наибольшего подинтервала в разбиении.

Пример интегрирования Римана

Рассмотрим простой пример: интегрирование f(x) = x^2 на интервале [0, 1]. Чтобы найти интеграл Римана, мы делим интервал [0,1] на n равных частей с каждой частью шириной Δx = 1/n.

Высота на каждом подинтервале может быть выбрана как (i/n)^2, где i = 1, 2, ..., n. Сумма Римана будет:

S(P) = Σ (i/n)^2 * 1/n = 1/n^3 Σ i²

Это приближает интеграл при n → ∞, давая:

∫ 0 1 x² dx = lim n→∞ 1/n³ Σ i² = 1/3

Интегрирование Лебега

Интегрирование Лебега, названное в честь Анри Лебега, расширяет идеи интегрирования Римана на гораздо более широкий класс функций. Оно особенно полезно для работы с более сложными функциями, включая те, которые не обязательно непрерывны.

Определение интегрирования Лебега

Вместо разделения области (как в случае интеграла Римана), интегрирование Лебега разделяет диапазон функции. Это включает измерение размеров областей в области, где функция принимает определенные значения.

Для неотрицательной функции f, определенной на пространстве меры, интеграл Лебега определяется путем изучения функции распределения F(y) = m({x : f(x) ≥ y}), где m — это мера (обычно мера Лебега).

Формальный интеграл Лебега выражается как:

∫ f(x) dm = ∫ y dF(y)

где интеграл в правой части — это интеграл Римана–Стилтьеса.

Пример интегрирования Лебега

Рассмотрим характеристическую функцию на рациональных числах на интервале [0, 1], которая равна 1 на рациональных числах в пределах [0,1] и 0 на иррациональных числах. В интегрировании Римана такая функция была бы практически невозможной для интегрирования из-за ее разрывов в каждой рациональной точке. Однако с использованием интегрирования Лебега:

Рациональные числа имеют меру Лебега равную нулю, и поэтому интеграл оценивается как

∫ 0 1 χ Q (x) dx = 0

Это простой пример, демонстрирующий силу метода Лебега. Он естественным образом обрабатывает бесконечные разрывы, потому что сосредотачивается на мере множества точек, а не на их дискретных местоположениях.

Сравнение интегралов Римана и Лебега

Цель обоих типов интегрирования — найти площадь под кривой, но они делают это очень разными способами.

• Интегрирование Римана разделяет область функции, а интегрирование Лебега разделяет диапазон.
• Интегрирование Римана ограничено функциями, которые конечны и имеют конечное число разрывов на замкнутом интервале. Интегрирование Лебега может обрабатывать более сложные функции, включая функции с бесконечным числом разрывов.
• Интегрирование Лебега более адаптивно к операциям предела, таким как взятие предела последовательности функций.
• Если функция интегрируема по Риману, она также будет интегрируема по Лебегу, и оба интеграла будут иметь одинаковое значение. Однако обратное неверно.

Несмотря на их различия, оба играют важную роль в анализе интегралов. Интегрирование Римана обычно более интуитивно и полезно для элементарного исчисления, в то время как интегрирование Лебега более мощное для продвинутого анализа и приложений, особенно в таких областях, как вероятность и функциональный анализ.

Визуальный пример интегрирования Лебега

Этот визуальный пример показывает, как интегрирование Лебега направлено на интеграцию путем определения равных регионов горизонтально, известные как интегрированные срезы, диапазона функции, что параллель контурирования построения меры вертикально.

Оба метода интегрирования являются важными инструментами в математике, причем метод Римана служит отправной точкой для изучения исчисления, а метод Лебега предоставляет большую гибкость и мощность для продвинутых приложений.

комментарии