Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Derivada parcial


No vasto campo da matemática, as derivadas parciais desempenham um papel integral, especialmente em análise real e cálculo multivariável. Para entender completamente o conceito de derivadas parciais, é necessário primeiro compreender os fundamentos da diferenciação, que é usada para estudar taxas de variação. Enquanto as derivadas básicas lidam com funções de uma única variável, as derivadas parciais estendem a ideia a funções com múltiplas variáveis. Neste artigo detalhado, vamos explorar profundamente o que são as derivadas parciais, por que são necessárias e como calculá-las conceitual e praticamente.

Compreendendo os fundamentos

A diferenciação é um conceito central no cálculo que envolve calcular a derivada de uma função. A derivada mostra como uma função se altera quando a entrada muda. Para uma função f(x), a derivada f'(x) em um ponto x fornece a inclinação da linha tangente ao gráfico da função nesse ponto.

Considere este exemplo simples: 

f(x) = x^2
A derivada, denotada por f'(x), é calculada como: 
f'(x) = 2x
Esta equação nos diz que para qualquer valor de x, a taxa de variação ou a inclinação da função é 2x.

Introdução às derivadas parciais

As derivadas parciais são úteis ao lidar com funções com múltiplas variáveis. Em vez de apenas uma variável de entrada, temos várias, como x e y. A função pode ser escrita como f(x, y). Em muitos problemas práticos, funções dependem de múltiplos fatores ou entradas, e é importante entender como cada um individualmente afeta o resultado.

Por exemplo, considere uma função f(x, y) = x^2 + y^2. Para ver como uma função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante, usamos o conceito de derivadas parciais.

Calculando derivadas parciais

Encontrar a derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis é como calcular a derivada comum, tratando as outras variáveis como constantes. Vamos detalhar:

Derivada parcial em relação a x

Para a função f(x, y) = x^2 + y^2, a derivada parcial em relação a x, denotada por ∂f/∂x, é calculada diferenciando apenas em relação a x e assumindo y constante.

∂f/∂x = 2x

Em termos simples, obtemos 2x diferenciando x^2 normalmente, enquanto consideramos y^2 como uma constante e, portanto, sua derivada é 0.

Derivada parcial em relação a y

Da mesma forma, para encontrar a derivada parcial em relação a y, denotada por ∂f/∂y, diferenciamos em relação a y, considerando x como uma constante.

∂f/∂y = 2y

Aqui, x^2 é considerado constante e sua derivada é 0, enquanto y^2 é diferenciado para dar 2y.

Visualizando derivadas parciais

Para entender mais profundamente, considere um espaço tridimensional onde o gráfico de f(x, y) = x^2 + y^2 é uma parábola centrada na origem. As derivadas parciais nos dão a inclinação dessa superfície na direção x ou y em qualquer ponto dado.

x-direção y-direção

No diagrama acima, a linha vermelha representa a inclinação na direção x determinada por ∂f/∂x, e a linha azul representa a inclinação na direção y determinada por ∂f/∂y.

Por que as derivadas parciais são importantes?

As derivadas parciais nos permitem estudar o efeito de alterar uma variável por vez. Isso é essencial em uma variedade de campos, incluindo física, engenharia e economia, onde os modelos frequentemente envolvem funções de múltiplas variáveis. Ao analisar derivadas parciais, podemos determinar sensibilidade e resposta a mudanças em várias entradas.

Exemplo prático: temperatura

Considere a temperatura em um ponto (x, y) dada por T(x, y) = 3x^2 + 4xy + 2y^2 + 7. Queremos descobrir como a temperatura muda, focando em uma variável por vez.

Com relação a x:

∂T/∂x = 6x + 4y

Com relação a y:

∂T/∂y = 4x + 4y

Esses resultados nos permitem prever mudanças na temperatura para mudanças específicas em x ou y.

Derivadas parciais de ordem superior

Assim como com derivadas comuns, podemos aplicar a diferenciação várias vezes, levando a ordens superiores. A segunda derivada parcial de f em relação a x, denotada por ∂²f/∂x², requer diferenciação sobre ∂f/∂x.

Considere f(x, y) = x^2 + y^2:

Derivada de segunda ordem:

∂f²/∂x² = 2
∂f²/∂y² = 2

Podemos também tomar derivadas parciais mistas, como ∂²f/∂x∂y, que é calculada diferenciando ∂f/∂x em relação a y.

Por exemplo, com T(x, y) = 3x^2 + 4xy + 2y^2 + 7:

∂²T/∂x∂y = 4
∂²T/∂y∂x = 4

Interessantemente, as derivadas parciais mistas são frequentemente iguais sob certas condições de continuidade - este resultado é conhecido como o teorema de Clairaut ou o teorema de Schwarz.

Aplicações das derivadas parciais

O mundo é cheio de sistemas que dependem da interação de muitas variáveis. As derivadas parciais desempenham um papel importante em várias áreas-chave:

  • Economia: Usadas em funções de utilidade para determinar a variação no nível de satisfação do consumidor com mudanças nos bens consumidos.
  • Física: Em termodinâmica e eletromagnetismo, ajudam a descrever como as propriedades físicas mudam.
  • Engenharia: Usadas na análise de tensões e distribuição de propriedades dos materiais.
  • Computação e aprendizado de máquina: Algoritmos de otimização frequentemente dependem de gradientes, que são vetores de derivadas parciais.

Conclusão

As derivadas parciais estendem o conceito básico de diferenciação para o domínio de funções multivariáveis. Elas fornecem ferramentas poderosas para explorar e resolver problemas complexos do mundo real influenciados por muitos fatores. Compreender essas derivadas fortalece nossa capacidade de modelar e prever mudanças dentro de espaços multidimensionais.


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