Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Derivada parcial


En el vasto campo de las matemáticas, las derivadas parciales juegan un papel integral, especialmente en el análisis real y el cálculo multivariable. Para entender completamente el concepto de derivadas parciales, primero se deben comprender los fundamentos de la diferenciación, que se utiliza para estudiar las tasas de cambio. Mientras que las derivadas básicas manejan funciones con una sola variable, las derivadas parciales extienden la idea a funciones con múltiples variables. En este artículo detallado, analizaremos en profundidad qué son las derivadas parciales, por qué son necesarias y cómo calcularlas conceptualmente y prácticamente.

Comprendiendo los fundamentos

La diferenciación es un concepto central en el cálculo que implica calcular la derivada de una función. La derivada muestra cómo cambia una función cuando cambia la entrada. Para una función f(x), la derivada f'(x) en un punto x proporciona la pendiente de la línea tangente al gráfico de la función en ese punto.

Consideremos este ejemplo simple: 

f(x) = x^2
La derivada, denotada por f'(x), se calcula como: 
f'(x) = 2x
Esta ecuación nos indica que para cualquier valor de x, la tasa de cambio o la pendiente de la función es 2x.

Introducción a las derivadas parciales

Las derivadas parciales son útiles al tratar con funciones de múltiples variables. En lugar de solo una variable de entrada, tenemos varias, como x y y. La función puede escribirse como f(x, y). En muchos problemas prácticos, las funciones dependen de múltiples factores o inputs, y es importante entender cómo cada uno afecta individualmente el output.

Por ejemplo, consideremos una función f(x, y) = x^2 + y^2. Para ver cómo cambia una función con respecto a una variable mientras la otra permanece constante, usamos el concepto de derivadas parciales.

Calculando derivadas parciales

Encontrar la derivada parcial de una función con respecto a una de sus variables es como tomar la derivada ordinaria tratando las otras variables como constantes. Vamos a desglosarlo:

Derivada parcial con respecto a x

Para la función f(x, y) = x^2 + y^2, la derivada parcial con respecto a x, denotada por ∂f/∂x, se calcula diferenciando solo con respecto a x y suponiendo que y es constante.

∂f/∂x = 2x

En palabras simples, obtenemos 2x diferenciando x^2 normalmente, mientras consideramos y^2 como una constante y por lo tanto su derivada es 0.

Derivada parcial con respecto a y

De manera similar, para encontrar la derivada parcial con respecto a y, denotada por ∂f/∂y, diferenciamos con respecto a y considerando que x es una constante.

∂f/∂y = 2y

Aquí, x^2 se considera constante y su derivada es 0, mientras que y^2 se diferencia para dar 2y.

Visualizando derivadas parciales

Para comprender más profundamente, consideremos un espacio tridimensional donde el gráfico de f(x, y) = x^2 + y^2 es una parábola centrada en el origen. Las derivadas parciales nos dan la pendiente de esta superficie en la dirección x o y en cualquier punto dado.

dirección x dirección Y

En el diagrama anterior, la línea roja representa la pendiente en la dirección x determinada por ∂f/∂x, y la línea azul representa la pendiente en la dirección y determinada por ∂f/∂y.

¿Por qué son importantes las derivadas parciales?

Las derivadas parciales nos permiten estudiar el efecto de cambiar una variable a la vez. Esto es esencial en una variedad de campos, incluyendo física, ingeniería y economía, donde los modelos a menudo involucran funciones de múltiples variables. Al analizar las derivadas parciales, podemos determinar la sensibilidad y la respuesta a cambios en diversos inputs.

Ejemplo práctico: temperatura

Consideremos la temperatura en un punto (x, y) dada por T(x, y) = 3x^2 + 4xy + 2y^2 + 7. Queremos saber cómo cambia la temperatura, enfocándonos en una variable a la vez.

Con respecto a x:

∂T/∂x = 6x + 4y

Con respecto a y:

∂T/∂y = 4x + 4y

Estos resultados nos permiten predecir cambios en la temperatura para cambios específicos en x o y.

Derivadas parciales de orden superior

Al igual que con las derivadas ordinarias, podemos aplicar la diferenciación múltiples veces, llevando a órdenes superiores. La segunda derivada parcial de f con respecto a x, denotada ∂²f/∂x², requiere diferenciación sobre ∂f/∂x.

Considere f(x, y) = x^2 + y^2:

Derivada de segundo orden:

∂f²/∂x² = 2
∂f²/∂y² = 2

También podemos tomar derivadas parciales mixtas, como ∂²f/∂x∂y, que se calcula diferenciando ∂f/∂x con respecto a y.

Por ejemplo, con T(x, y) = 3x^2 + 4xy + 2y^2 + 7:

∂²T/∂x∂y = 4
∂²T/∂y∂x = 4

Curiosamente, las derivadas parciales mixtas a menudo son iguales bajo ciertas condiciones de continuidad; este resultado se conoce como el teorema de Clairaut o el teorema de Schwartz.

Aplicaciones de las derivadas parciales

El mundo está lleno de sistemas que dependen de la interacción de muchas variables. Las derivadas parciales juegan un papel importante en varias áreas clave:

  • Economía: Usadas en funciones de utilidad para determinar el cambio en el nivel de satisfacción del consumidor con cambios en los bienes consumidos.
  • Física: En termodinámica y electromagnetismo, ayudan a describir cómo cambian las propiedades físicas.
  • Ingeniería: Usadas en análisis de tensiones y distribución de propiedades de materiales.
  • Computación y aprendizaje automático: Los algoritmos de optimización a menudo dependen de gradientes, que son vectores de derivadas parciales.

Conclusión

Las derivadas parciales extienden el concepto básico de diferenciación al ámbito de funciones multivariables. Proporcionan herramientas poderosas para explorar y resolver problemas complejos del mundo real influenciados por muchos factores. Comprender estas derivadas fortalece nuestra capacidad para modelar y predecir cambios dentro de espacios multidimensionales.


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