多变量函数
在实分析中，多变量函数的概念是将单变量函数扩展到多个维度。这些函数不仅对于理解高级数学至关重要，而且对于理解物理、工程学、经济学及其他领域的许多现实世界应用也至关重要。
多变量函数的基础
多变量函数从多个维度获取输入，并将其映射到一个输出，该输出通常在一个维度中。数学上，这样的函数可以表示为：
f: ℝⁿ → ℝ
在这里，ℝⁿ表示输入变量的n维空间，而ℝ是输出所在的实数线。
例如，考虑一个函数f(x, y)，它接受两个实数x和y，并将其映射到一个实数。在现实世界的应用中，它们可以表示任何可测量的量，如温度、压力等。
图形表示
与可以在二维中观察的单变量函数不同，两个变量的函数需要三维来查看。这样的函数f(x, y)的图形是三维空间中的一个表面。
上图是一个简单的二维表示，显示了函数f(x, y)创建的表面。在这里，更改x和y将导致不同的z值，从而创建表面。
偏导数
在多变量函数的微分中，一个重要的概念是偏导数。一个函数对于一个变量的偏导数基本上是该函数的导数，假设所有其他变量都是常数。
对于一个函数f(x, y)，f对于x的偏导数表示为∂f/∂x。类似地，对于y的偏导数是∂f/∂y。
∂f/∂x = lim (h → 0) [(f(x+h, y) - f(x, y)) / h]
上述表达式给出了f在x方向上的变化率，而y保持不变。
偏导数的例子
让我们考虑一个简单的函数：
f(x, y) = x²y + y³
求f关于x的偏导数：
∂f/∂x = ∂/∂x (x²y + y³) = 2xy
在这里，y³项消失，因为在x方面它是常数。
类似地，求f关于y的偏导数：
∂f/∂y = ∂/∂y (x²y + y³) = x² + 3y²
高阶导数
在许多应用中，可能需要进一步计算导数，从而导致高阶导数。这些是偏导数的导数。例如，f关于x的二阶导数可以写为：
∂f²/∂x²
类似地，我们可以有混合偏导数，例如：
∂²f/(∂x∂y)
混合偏导数可以按任何顺序计算，并且在许多情况下它们是相等的，这一事实称为克莱尔定理。
高阶导数的示例问题
继续我们之前的例子f(x, y) = x²y + y³，让我们计算混合的二阶偏导数：
- 首先，求
∂f/∂x = 2xy。 - 现在将
∂²f/(∂x∂y)关于y求导：
∂²f/(∂x∂y) = ∂/∂y (2xy) = 2x
同样，运用一系列的微分，我们处理∂²f/(∂y∂x)：
∂f/∂y = x² + 3y²
∂²f/(∂y∂x) = ∂/∂x(x² + 3y²) = 2x
正如预期，∂²f/(∂x∂y) = ∂²f/(∂y∂x) = 2x，表明混合导数是相等的。
梯度及其解释
多变量函数的梯度是一个向量，指向函数增加最快的方向。对于函数f(x, y, ...)，梯度是：
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...)
因此，梯度形成一个向量，其分量是f的偏导数。可以将其解释为相应坐标方向的斜率或倾斜度。
实际示例
设f(x, y) = 3x² + 4xy + 2y²，那么：
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
∂f/∂x = 6x + 4y
∂f /∂y = 4x + 4y
∇f = (6x + 4y, 4x + 4y)
梯度∇f在任意点(x, y)提供了两维平面上陡升的方向和速率。
理解Hessian矩阵
Hessian矩阵是标量值函数的二阶混合偏导数组成的方阵。对于一个函数f(x, y)，Hessian可以表示为：
h(f) = | ∂²f/∂x² ∂²f/(∂x∂y) |
| ∂²f/(∂y∂x) ∂²f/∂y² |
Hessian常用于优化问题中确定函数的凹凸性。
Hessian的应用示例
让我们重温之前的示例f(x, y) = x²y + y³：
h(f) = | 2y 2x |
| 2x 6y² |
计算行列式以及检查矩阵是否正定有助于确定函数在关键点的性质。
泰勒级数展开
正如单变量函数可以使用泰勒级数近似，多变量函数也可以以类似方式展开。函数f(x, y)在点(a, b)附近的泰勒级数表示为：
f(x, y) ≈ f(a, b) + (xa)fₓ(a, b) + (yb)fᵧ(a, b)
+ 1/2 [(xa)² fₓₓ(a, b) + 2(xa)(yb)fₓᵧ(a, b) + (yb)²fᵧᵧ(a, b)]
此展开式涉及复杂性递增的项，提供了一种在特定点附近系统化的近似函数的方法。
结论
多变量函数是现代数学的重要组成部分，应用遍及许多科学学科。它们的微分概念，如偏导数、梯度和Hessian矩阵，是数学建模和分析的重要工具。
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