多変数の関数

実解析では、多変数の関数の概念は、一変数関数をいくつかの次元に拡張したものです。これらの関数は、高度な数学を理解するためだけでなく、物理学、工学、経済学など、現実世界の多くの応用を理解するためにも不可欠です。

多変数関数の基礎

多変数の関数は、複数の次元から入力を取り、一つの次元にそれをマッピングします。数学的には、このような関数は次のように書けます：

    f: ℝⁿ → ℝ

ここで、ℝⁿは入力変数の n 次元空間を表し、ℝは結果が存在する実数線です。

例えば、f(x, y)という関数があり、xとyという二つの実数を取り、それを実数にマッピングするとします。現実世界の応用では、これらは温度や圧力など、測定可能な任意の量を表すことができます。

グラフによる表現

一変数の関数とは異なり、それは二次元で視覚化できますが、二変数の関数は三次元で視覚化する必要があります。このような関数f(x, y)のグラフは、三次元空間の曲面です。

上図は、関数f(x, y)によって生成される曲面を示す簡単な二次元表現です。ここで、xとyを変更すると、異なるz値が生まれ、曲面が作られます。

偏微分

多変数の関数を微分する際の重要なコンセプトは、偏微分の概念です。偏微分は、他のすべての変数が定数であると仮定して、一つの変数に関して関数を微分することです。

関数f(x, y)に対して、xに関するfの偏微分は∂f/∂xで表されます。同様に、yに関する偏微分は∂f/∂yです。

    ∂f/∂x = lim (h → 0) [(f(x+h, y) - f(x, y)) / h]

上記の式は、yを一定としたまま、x方向でのfの変化率を示しています。

偏微分の例

単純な関数を考えてみましょう：

    f(x, y) = x²y + y³

fをxに関して偏微分してみましょう：

    ∂f/∂x = ∂/∂x (x²y + y³) = 2xy

ここで、y³の項はxに関して定数であるため消えます。

同様に、fをyに関して偏微分すると：

    ∂f/∂y = ∂/∂y (x²y + y³) = x² + 3y²

高次導関数

多くの応用では、さらに導関数を計算する必要があり、高次導関数を導きます。これらは偏導関数の導関数です。例えば、xに関する第二導関数は次のように書けます：

    ∂f²/∂x²

同様に、混成偏導関数が存在します：

    ∂²f/(∂x∂y)

混成偏導関数は任意の順序で計算でき、多くの場合、それらは等しいという事実は、クレアウの定理として知られています。

高次導関数の例題

前述の例f(x, y) = x²y + y³を使って、混成二次偏導関数を計算しましょう：

1. ∂f/∂x = 2xyを見つけます。
2. 次に∂²f/(∂x∂y)をyで微分します：

    ∂²f/(∂x∂y) = ∂/∂y (2xy) = 2x

同様に、∂²f/(∂y∂x)に対して微分の系列を適用します：

    ∂f/∂y = x² + 3y²

    ∂²f/(∂y∂x) = ∂/∂x(x² + 3y²) = 2x

予想されるように、∂²f/(∂x∂y) = ∂²f/(∂y∂x) = 2xであることが示され、混成微分は等しいことがわかります。

勾配と解釈

多変数関数の勾配は、関数が最も急激に増加する方向を指すベクトルです。関数f(x, y, ...)に対する勾配は次の通りです：

    ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...)

勾配は、その成分がfの偏微分であるベクトルを形成します。これは、対応する座標方向での傾きまたは傾斜として解釈されます。

実用的な例

f(x, y) = 3x² + 4xy + 2y²とすると：

    ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
    ∂f/∂x = 6x + 4y
    ∂f /∂y = 4x + 4y

    ∇f = (6x + 4y, 4x + 4y)

任意の点(x, y)における勾配∇fは、二次元平面上での最も急勾配の上昇の方向と速度を示します。

ヘッシアン行列の理解

ヘッシアン行列は、スカラ値関数の二次混成偏導関数の正方行列です。関数f(x, y)に対して、ヘッシアンは次のように表せます：

    h(f) = | ∂²f/∂x² ∂²f/(∂x∂y) |
           | ∂²f/(∂y∂x) ∂²f/∂y² |

ヘッシアンは、最適化問題における関数の凹凸を判断するのにしばしば用いられます。

ヘッシアンの応用例

先ほどの例f(x, y) = x²y + y³に戻りましょう：

    h(f) = | 2y 2x |
           | 2x 6y² |

行列が正定であるかどうかを判断するために、行列式を計算し、行列の正定性を確認します。

テイラー展開

一変数関数と同様に、多変数関数もテイラー展開を使用して近似することができます。関数f(x, y)を点(a, b)の周りで展開したテイラー級数は次の通りです：

    f(x, y) ≈ f(a, b) + (xa)fₓ(a, b) + (yb)fᵧ(a, b) 
    + 1/2 [(xa)² fₓₓ(a, b) + 2(xa)(yb)fₓᵧ(a, b) + (yb)²fᵧᵧ(a, b)]

この展開は複雑さが増す項を含んでおり、特定の点の近くで関数を系統的に近似する方法を提供します。

結論

多変数の関数は、現代数学の基本的な部分であり、多くの科学分野に広がる応用を持っています。それらの微分概念、例えば偏微分、勾配、ヘッシアン行列などは、数学的なモデリングや解析における重要なツールです。

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