स्नातकोत्तर → वास्तविक विश्लेषण का परिचय → भेदभाव ↓
कई चरों के कार्य
वास्तविक विश्लेषण में, कई चरों के कार्य की अवधारणा को एकविध चर के कार्यों का विकास माना जाता है, जो कई आयामों में होता है। ये कार्य केवल उन्नत गणित को समझने के लिए ही नहीं, बल्कि भौतिकी, अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र इत्यादि में कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों को समझने के लिए भी आवश्यक हैं।
कई चरों वाले कार्यों की मूल बातें
कई चरों वाला एक कार्य कई आयामों से इनपुट ग्रहण करता है और इसे आउटपुट पर मैप करता है, जो आमतौर पर एक आयाम में होता है। गणितीय रूप से, ऐसा कार्य इस प्रकार लिखा जा सकता है:
f: ℝⁿ → ℝ
यहां, ℝⁿ इनपुट चरों के n-आयामी स्थान का प्रतिनिधित्व करता है, और ℝ वह वास्तविक संख्या रेखा है जहां आउटपुट स्थित होता है।
उदाहरण के लिए, एक कार्य f(x, y) विचार करें जो दो वास्तविक संख्याओं x और y को ग्रहण करता है और उन्हें एक वास्तविक संख्या पर मैप करता है। वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में, ये किसी भी मापने योग्य मात्रा जैसे तापमान, दबाव आदि का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
ग्राफीय प्रतिनिधित्व
एकविध चर के कार्य को दो आयामों में देखा जा सकता है, जबकि दो चरों वाले एक कार्य के लिए इसे देखने के लिए तीन आयामों की आवश्यकता होती है। ऐसा कार्य f(x, y) का ग्राफ तीन-आयामी स्थान में एक सतह होता है।
ऊपर एक साधारण 2D प्रतिनिधित्व है जो कार्य f(x, y) द्वारा बनाई गई सतह को दिखाता है। यहां, x और y को बदलने से विभिन्न z मूल्य प्राप्त होते हैं, जो सतह बनाते हैं।
आंशिक अवकलज
कई चरों वाले कार्यों को अलग करने में एक महत्वपूर्ण अवधारणा आंशिक अवकलज की है। किसी चर के संदर्भ में एक कार्य का आंशिक अवकलज वास्तव में कार्य का अवकलज होता है, इस धारण के साथ कि सभी अन्य चर स्थिर हैं।
किसी कार्य f(x, y) के लिए, x के संदर्भ में f का आंशिक अवकलज ∂f/∂x द्वारा दर्शाया जाता है। इसी प्रकार, y के संदर्भ में आंशिक अवकलज ∂f/∂y है।
∂f/∂x = lim (h → 0) [(f(x+h, y) - f(x, y)) / h]
उपरोक्त अभिव्यक्ति x दिशा में f के परिवर्तन की दर देता है, जबकि y स्थिर रहता है।
आंशिक अवकलज का उदाहरण
आइए एक साधारण कार्य पर विचार करें:
f(x, y) = x²y + y³
x के संदर्भ में f का आंशिक अवकलज खोजें:
∂f/∂x = ∂/∂x (x²y + y³) = 2xy
यहां, y³ पद लुप्त हो जाती है क्योंकि यह x के संदर्भ में स्थिर है।
इसी प्रकार, y के संदर्भ में f का आंशिक अवकलज खोजें:
∂f/∂y = ∂/∂y (x²y + y³) = x² + 3y²
उच्च-क्रम के अवकलज
कई अनुप्रयोगों में, अवकलज को आगे गणना करना आवश्यक हो सकता है, जिससे उच्च-क्रम के अवकलज प्राप्त होते हैं। ये आंशिक अवकलजों के अवकलज होते हैं। उदाहरण के लिए, x के संदर्भ में f का दूसरा अवकलज इस प्रकार लिखा जा सकता है:
∂f²/∂x²
इसी प्रकार, मिश्रित आंशिक अवकलज कर सकते हैं जैसे:
∂²f/(∂x∂y)
मिश्रित आंशिक अवकलज किसी भी क्रम में गणना किए जा सकते हैं, और कई मामलों में वे बराबर होते हैं, जिसे क्लेयर के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
उच्च-क्रम के अवकलज का उदाहरण समस्या
हमारे पिछले उदाहरण f(x, y) = x²y + y³ पर वापस जाएं, आइए मिश्रित द्वितीय-आदेश आंशिक अवकलज की गणना करें:
- पहले,
∂f/∂x = 2xyढूंढें। - अब
yके संदर्भ में∂²f/(∂x∂y)का अवकलज करें:
∂²f/(∂x∂y) = ∂/∂y (2xy) = 2x
इसी तरह, अवकलज की श्रृंखला लागू करें, हम ∂²f/(∂y∂x) के साथ काम करते हैं:
∂f/∂y = x² + 3y²
∂²f/(∂y∂x) = ∂/∂x(x² + 3y²) = 2x
जैसा कि अपेक्षित था, ∂²f/(∂x∂y) = ∂²f/(∂y∂x) = 2x, यह दर्शाते हुए कि मिश्रित अवकलज बराबर हैं।
ग्रेडियेंट और व्याख्या
कई चरों के कार्य का ग्रेडियेंट उस दिशा में एक सदिश होता है जहां कार्य की वृद्धि की दर सबसे तेज होती है। कार्य f(x, y, ...) के लिए, ग्रेडियेंट इस प्रकार है:
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...)
इस प्रकार, ग्रेडियेंट एक सदिश बनाता है जिसके घटक f के आंशिक अवकलज होते हैं। इसे संबंधित निर्देशांकों के बीच ढलान या झुकाव के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।
व्यावहारिक उदाहरण
मान लें f(x, y) = 3x² + 4xy + 2y², तो:
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
∂f/∂x = 6x + 4y
∂f /∂y = 4x + 4y
∇f = (6x + 4y, 4x + 4y)
किसी भी बिंदु (x, y) पर ग्रेडियेंट ∇f दो-आयामी समतल में सबसे तीव्र चढ़ाई की दिशा और दर देता है।
हेसियन मैट्रिक्स की समझ
हेसियन मैट्रिक्स दूसरी-आदेश के मिश्रित आंशिक अवकलजों की एक वर्ग मैट्रिक्स है। किसी कार्य f(x, y) के लिए, हेसियन इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
h(f) = | ∂²f/∂x² ∂²f/(∂x∂y) |
| ∂²f/(∂y∂x) ∂²f/∂y² |
हेसियन का उपयोग अक्सर अनुकूलन समस्याओं में कार्य की अवतलता या उत्तलता का निर्धारण करने के लिए किया जाता है।
हेसियन का अनुप्रयोग उदाहरण
हमारे पिछले उदाहरण f(x, y) = x²y + y³ पर वापस जाएं:
h(f) = | 2y 2x |
| 2x 6y² |
निर्धारण की गणना करना और यह जाँचना कि मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है या नहीं, महत्वपूर्ण बिंदुओं पर कार्य की प्रकृति का निर्धारण करने में सहायक होता है।
टेलर श्रृंखला विस्तार
जैसे एकविध चर के कार्य को टेलर श्रृंखला का उपयोग करके सरलीकृत किया जा सकता है, उसी प्रकार कई चरों वाले कार्य को भी इसी प्रकार विस्तारित किया जा सकता है। कार्य f(x, y) के लिए (a, b) बिंदु के आसपास टेलर श्रृंखला इस प्रकार दी गई है:
f(x, y) ≈ f(a, b) + (xa)fₓ(a, b) + (yb)fᵧ(a, b)
+ 1/2 [(xa)² fₓₓ(a, b) + 2(xa)(yb)fₓᵧ(a, b) + (yb)²fᵧᵧ(a, b)]
यह विस्तार बढ़ती जटिलता की शर्तें शामिल करता है और विशेष बिंदुओं के निकट कार्यों का सरलीकरण करने का एक प्रणालीबद्ध तरीका प्रदान करता है।
निष्कर्ष
कई चरों के कार्य आधुनिक गणित का एक मौलिक हिस्सा हैं, जिनका अनुप्रयोग कई वैज्ञानिक विधाओं में फैला हुआ है। उनके अवकलन अवधारणाएं, जैसे आंशिक अवकलज, ग्रेडियेंट, और हेसियन मैट्रिक्स, गणितीय मॉडलिंग और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं।
टिप्पणियाँ