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टेलर श्रेणी
परिचय
टेलर श्रेणी गणित में एक बहुत ही शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग अधिक जटिल फंक्शन को सरल बहुपद उदाहरणों से समीकरण करने में किया जाता है। श्रेणी फ़ंक्शन को एक बिंदु पर उनके डेरिवेटिव के मानों से गणना की गई अनंत योगों के रूप में प्रस्तुत करने का एक तरीका प्रदान करती है। मूल रूप से, यह एक जटिल वक्र को इसके स्पर्शरेख (रेखीय), द्विघात, घन, और उच्च क्रम के पदों के योग में विघटित कर देती है।
मूल बातें समझना
आइए टेलर श्रेणी के मूल रूप को समझकर शुरू करते हैं। एक फ़ंक्शन ( f ) जो किसी बिंदु ( a ) पर अनंत रूप से व्युत्पन्नीय है, की ( a ) पर टेलर श्रेणी दी जाती है:
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + cdots यह सूत्र एक अनंत योग को दर्शाता है जहाँ ( n! ) (n फैक्टरियल) ( n ) तक सभी सकारात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है, और ( f ) का ( n )-वां व्युत्पन्न बिंदु ( a ) पर आंका जाता है।
टेलर श्रेणी का उदाहरण
आइए एक सरल फ़ंक्शन लें जैसे ( exp(x) = e^x ) और ( a = 0 ) पर उसकी टेलर श्रेणी देखें। इस श्रेणी को अक्सर मैक्लौरिन श्रेणी कहा जाता है, जो एक विशेष मामला है जहाँ ( a = 0 ) होता है:
e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + cdots ( e^x ) के लिए मैक्लौरिन श्रेणी उसके डेरिवेटिव्स से व्युत्पन्न होती है, जो सभी ( e^x ) होते हैं। ( x = 0 ) पर आंका जाने पर, सभी डेरिवेटिव्स बराबर होते हैं 1 के, जिससे श्रृंखला प्राप्त होती है:
e^0 = 1, quad (e^x)'|_{x=0} = 1, quad (e^x)''|_{x=0} = 1, quad ldots इस प्रकार, प्रत्येक पद सिर्फ ( frac{x^n}{n!} ) होता है।
टेलर श्रेणी का दृश्य
0 साइन फ़ंक्शन: sin(x) टेलर अनुप्राप्ति डिग्री 3 तक
यह SVG उदाहरण दर्शाता है कि साइन फ़ंक्शन अपनी तीसरी-डिग्री टेलर अनुप्राप्ति से कैसे मेल खाता है। ध्यान दें कि ( x = 0 ) के आस-पास वे कितने करीब हैं, जो फ़ंक्शन अनुकरण में टेलर श्रेणी की शक्ति को दर्शाता है।
उच्च क्रम की टेलर श्रेणी का निर्माण
अब, आइए एक अधिक विस्तृत उदाहरण बनाएं - प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन की टेलर श्रेणी, ( ln(1 + x) ), पर ( a = 0 )।
देरावतियों की गणना करें:
f(x) = ln(1 + x) f'(x) = frac{1}{1 + x} f''(x) = -frac{1}{(1 + x)^2} f'''(x) = frac{2}{(1 + x)^3} ldots ( x = 0 ) पर आंका गया:
f(0) = 0, quad f'(0) = 1, quad f''(0) = -1, quad f'''(0) = 2, quad ldots इस प्रकार, टेलर श्रेणी है:
ln(1 + x) = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - frac{x^4}{4} + cdots यह श्रेणी ( -1 < x leq 1 ) के लिए परिवर्तित होती है। परिवर्तनीयता का त्रिज्या विस्तार के केंद्र ( a ) और वह बिंदु जहाँ श्रेणी अपनी मान्यता खो देती है, के बीच की दूरी होती है, जो इस मामले में 1 है।
टेलर श्रेणी की परिवर्तनीयता
टेलर श्रेणी की एक आवश्यक पक्ष यह समझना है कि उनके साथ आने वाली त्रुटि क्या है। सभी टेलर श्रेणियाँ अपने कथित फ़ंक्शन पर परिवर्तित नहीं होती हैं। टेलर श्रेणी जिस अंतराल पर अपने कार्य पर परिवर्तित होती है उसे "परिवर्तनीयता का अंतराल" कहा जाता है।
उदा हरण के लिए, जियोमेट्रिक श्रृंखला पर विचार करें:
frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + cdots यह श्रेणी केवल ( |x| < 1 ) के लिए ( frac{1}{1-x} ) पर परिवर्तित होती है। यदि आप ( x ) का कोई मान चुनते हैं जिसका उदर मान 1 से बड़ा या बराबर है, तो श्रृंखला का योग वास्तविक फ़ंक्शन मान तक नहीं पहुँच पाता है।
टेलर श्रेणी के अनुप्रयोग
टेलर श्रेणियाँ विज्ञान और अभियांत्रिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं:
- अनुमान: जटिल फ़ंक्शनों को कुछ बहुपद के साथ अनुमानित किया जा सकता है, श्रृंखला को समाप्त कर।
- संख्यात्मक विश्लेषण: कई संख्यात्मक एल्गोरिदम बहुपदों के साथ फ़ंक्शनों को अनुकरण करने पर निर्भर करते हैं।
- भौतिकी: उन्हें क्वांटम यांत्रिकी और अन्य शाखाओं में दोलनों और तरंग समीकरणों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।
- अभियांत्रिकी: वे नियंत्रण प्रणालियों और संकेत प्रसंस्करण कार्यों के लिए जटिल मॉडलों को सरल बनाते हैं।
टेलर श्रेणी और त्रुटि विश्लेषण
टेलर श्रेणी का उपयोग करने का एक महत्वपूर्ण हिस्सा श्रृंखला को समाप्त करने से संबंधित त्रुटि को समझना है। शेष पद ( R_n(x) ) यह निर्धारित करने के लिए एक अनुमान प्रदान करता है कि श्रृंखला के अनुप्राप्त का अनुमान कितना सटीक है।
( n ) -वां ऑर्डर टेलर बहुपद का शेषांश दी जाता है:
R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(xa)^{n+1} जहाँ ( c ) ( a ) और ( x ) के बीच के अंतराल में एक मूल्य होता है। यह पद यह निर्धारित करने में मदद करता है कि अनुमान का मूल्य फ़ंक्शन के वास्तविक मूल्य के कितने करीब है।
निष्कर्ष
टेलर श्रेणियाँ कैलकुलस और विश्लेषण का महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, जो फ़ंक्शनों को अनुकरण करने, परिवर्तनीयता का विश्लेषण करने, और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में परिणामों को लागू करने के आवश्यक तरीके प्रदान करती हैं। इसकी उपयोगिता न केवल मूल गणित के परे जाती है, बल्कि कम्प्यूटेशनल तरीकों, भौतिकी, अभियांत्रिकी और अन्य क्षेत्रों में अंकुरण में महत्वपूर्ण मदद करती है।
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