Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Introducción al análisis real → Discriminación ↓


Serie de Taylor


Introducción

La serie de Taylor es una herramienta muy poderosa en matemáticas usada para aproximar funciones más complejas con expresiones polinómicas más simples. La serie proporciona una manera de representar funciones como sumas infinitas calculadas a partir de los valores de sus derivadas en un punto. Esencialmente, descompone una curva compleja en la suma de sus términos tangentes (lineales), cuadráticos, cúbicos y de mayor orden.

Entendiendo los conceptos básicos

Comencemos entendiendo la forma básica de la serie de Taylor. Para una función ( f ) que es infinitamente derivable en un punto ( a ), la serie de Taylor de ( f ) en ( a ) se da por:

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + cdots

Esta fórmula representa una suma infinita donde ( n! ) (n factorial) es el producto de todos los enteros positivos hasta ( n ), y la ( n )-ésima derivada de ( f ) se evalúa en el punto ( a ).

Ejemplo de serie de Taylor

Tomemos una función simple como ( exp(x) = e^x ) y observemos su serie de Taylor en ( a = 0 ). Esta serie es a menudo llamada la serie de Maclaurin, que es un caso especial de la serie de Taylor donde ( a = 0 ).

e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + cdots

La serie de Maclaurin para ( e^x ) se deriva de sus derivadas, que son todas ( e^x ). Evaluadas en ( x = 0 ), todas las derivadas son iguales a 1, dando la serie:

e^0 = 1, quad (e^x)'|_{x=0} = 1, quad (e^x)''|_{x=0} = 1, quad ldots

Así, cada término es simplemente ( frac{x^n}{n!} ).

Visualizando la serie de Taylor


  
    
    

    0

    
    
    Función seno: sin(x)

    
    
    Aproximación de Taylor hasta grado 3

Este ejemplo de SVG compara la función seno con su aproximación de tercer grado de Taylor. Observe cuán cerca están cerca de ( x = 0 ), lo que muestra el poder de la serie de Taylor en la aproximación de funciones.

Construcción de series de Taylor de orden superior

Ahora, construyamos un ejemplo más detallado: la serie de Taylor de la función logaritmo natural, ( ln(1 + x) ), en ( a = 0 ).

Calcule las derivadas:

f(x) = ln(1 + x) f'(x) = frac{1}{1 + x} f''(x) = -frac{1}{(1 + x)^2} f'''(x) = frac{2}{(1 + x)^3} ldots

Evaluar en ( x = 0 ) da: 

f(0) = 0, quad f'(0) = 1, quad f''(0) = -1, quad f'''(0) = 2, quad ldots

Asi, la serie de Taylor es:

ln(1 + x) = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - frac{x^4}{4} + cdots

Esta serie converge para ( -1 < x leq 1 ). El radio de convergencia es la distancia entre el centro de expansión ( a ) y el punto donde la serie pierde su validez, que es 1 en este caso.

Convergencia de series de Taylor

Un aspecto esencial de las series de Taylor es comprender el concepto de convergencia. No todas las series de Taylor convergen en la función que se supone que representan. El intervalo en el que la serie de Taylor converge a su función se llama "intervalo de convergencia."

Por ejemplo, considere la serie geométrica:

frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + cdots

Esta serie converge a ( frac{1}{1-x} ) solo para ( |x| < 1 ). Si elige cualquier valor de ( x ) con un valor absoluto mayor o igual a 1, la suma de la serie ya no se aproxima al valor real de la función.

Aplicaciones de las series de Taylor

Las series de Taylor se utilizan en una variedad de áreas de ciencia e ingeniería:

  1. Aproximación: Las funciones complejas se pueden aproximar usando algunos términos polinómicos, truncando la serie.
  2. Análisis numérico: Muchos algoritmos numéricos dependen de la aproximación de funciones con polinomios.
  3. Física: Se usan para resolver problemas relacionados con oscilaciones y ecuaciones de ondas en mecánica cuántica y otras ramas.
  4. Ingeniería: Simplifica modelos complejos para sistemas de control y tareas de procesamiento de señales.

Series de Taylor y análisis de error

Una parte importante de usar series de Taylor es comprender el error asociado al truncar la serie. El término restante ( R_n(x) ) proporciona una estimación de cuán precisa es una aproximación truncada de la serie.

El resto del polinomio de Taylor de orden ( n ) está dado por:

R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(xa)^{n+1}

donde ( c ) es un valor en el intervalo entre ( a ) y ( x ). Este término ayuda a determinar cuán cerca está la estimación del verdadero valor de la función.

Conclusión

Las series de Taylor son una piedra angular del cálculo y el análisis, proporcionando métodos esenciales para aproximar funciones, analizar convergencias y aplicar resultados en una amplia variedad de campos científicos. Su utilidad va mucho más allá de las matemáticas básicas, sustentando avances en métodos computacionales, física, ingeniería y más allá.


Posgrado → 1.4.2


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (1.4.1)
Teorema del valor medio
Siguiente (1.4.3) →
Funciones de varias variables

Comentarios 



Serie de Taylor

https://www.buddymath.com/g/1.4.2?bmal=es