Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Введение в математический анализ ↓


Последовательности и ряды


Введение

В изучении математического анализа последовательности и ряды являются основными концепциями, которые создают основу для понимания функций, пределов и непрерывности. Эти концепции помогают нам погрузиться в бесконечность, предоставляя структурированный способ работы с различными математическими явлениями, такими как исчисление, теория чисел и другие области.

Сцены

Последовательность — это упорядоченный список чисел, обычно определяемый правилом или формулой. Математически мы обозначаем последовательность как (a_n), где n — это натуральное число, начинающееся с 1 (или иногда с 0). Этот n обозначает позицию в последовательности. Каждое число в списке называется "членом".

a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...

Пример: рассмотрим простую последовательность, где каждый член определён формулой a_n = 1/n.

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

Виды последовательностей

  • Арифметическая последовательность: последовательность, в которой разность между последовательными членами является постоянной. Формула общего члена
    a_n = a_1 + (n-1)d
    Пример: 2, 4, 6, 8, ... (здесь, d = 2).
  • Геометрическая последовательность: последовательность, в которой каждый член после первого члена находится путем умножения предыдущего члена на фиксированное, ненулевое число, называемое "общим отношением". Общий член формула
    a_n = a_1 * r^(n-1)
    Пример: 3, 6, 12, 24, ... (здесь, r = 2).
  • Сходящаяся последовательность: последовательность, которая приближается к определённому значению по мере увеличения n. Пример:
    1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
    Эта последовательность сходится к 0.
  • Расходящаяся последовательность: последовательность, которая не сходится к пределу. Пример:
    1, 2, 3, 4, ...

Визуальное представление последовательности - сходимость

Представьте, что вы наносите на график последовательность a_n = 1/n, где ось x — это номер члена n, а ось y — это значение члена a_n.

Один N

По мере увеличения n точки приближаются к оси x, визуально указывая на сходимость к 0.

Ряды

Ряд — это сумма членов последовательности. Если (a_n) — это последовательность, то ряд S_n задаётся как

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n

Если последовательность частичных сумм (S_n) сходится к пределу S, то ряд называется сходящимся, и S является суммой ряда. В противном случае он расходится.

Ряды могут быть как конечными, включающими только ограниченное число членов, так и бесконечными, продолжающимися бесконечно. Бесконечные ряды особенно важны в области высшей математики.

Виды рядов

  • Арифметический ряд: сумма членов в арифметической последовательности. Пример:
    S_n = 2 + 4 + 6 + ...
  • Геометрический ряд: сумма членов в геометрической последовательности. Если r — общее отношение, то ряд может быть выражен как
    S = a_1 / (1 - r) (если |r| < 1)
    Пример:
    S = 3 + 6 + 12 + 24 + ...
  • Гармонический ряд: типичный ряд, в котором каждый член обратно пропорционален его позиции в последовательности:
    S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
    Этот ряд расходится, то есть возрастает без ограничений.
  • Степенной ряд: ряды в такой форме:
    S = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ...
    Эти ряды часто используются для представления функций в исчислении.

Тест на сходимость

Для определения того, сходится ли бесконечный ряд, можно применить несколько тестов:

  • Тест отношения: если
    lim (n -> ∞) |a_(n+1)/a_n| = L
    И если L < 1, то ряд сходится. Если L > 1, то он расходится.
  • Основной тест: если
    lim (n -> ∞) (|a_n|)^(1/n) = L
    И если L < 1, то ряд сходится. Если L > 1, то он расходится.
  • Интегральный тест: сравните ряд с несобственным интегралом ∫f(x)dx. Если интеграл сходится, то ряд также сходится.
  • Тест сравнения: сравните с известным эталонным рядом. Если ряд a_n меньше сходящегося ряда b_n, тогда a_n сходится.

Визуальное представление ряда - сходящийся геометрический ряд

Рассмотрим геометрический ряд, в котором a_1 = 1 и r = 1/2. Каждый последующий член становиться всё меньше. Визуально ряд образует последовательность, которая экспоненциально убывает к общей сумме.

,

Эта сумма явно сходится к конечному значению, которое в данном случае равно S = 2.

Заключительные мысли

Последовательности и ряды играют важную роль в математическом анализе и во многих приложениях в математике, физике, компьютерных науках и инженерии. Понимание этих идей позволяет нам работать с бесконечными процессами строго и структурированно. Изучение этих концепций является ключевым для понимания пределов, непрерывности и дифференциального исчисления. Важно, что они заполняют пробел между дискретной и непрерывной математикой, предоставляя согласованное понимание бесконечных операций.


Магистратура → 1.3


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (1.2.4)
Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе
следующая (1.3.1) →
Сходимость последовательностей

комментарии 



Последовательности и ряды

https://www.buddymath.com/g/1.3?bmal=ru