Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Secuencias y series


Introducción

En el estudio del análisis real, las secuencias y series son conceptos fundamentales que forman el marco para entender funciones, límites y continuidad. Estos conceptos nos ayudan a sumergirnos en el infinito, proporcionando una forma estructurada de manejar varios fenómenos matemáticos tales como el cálculo, la teoría de números y otros campos.

Escenas

Una secuencia es una lista ordenada de números, usualmente definida por una regla o fórmula. Matemáticamente, denotamos una secuencia como (a_n), donde n es un número natural a partir de 1 (o a veces 0). Este n representa la posición en la secuencia. Cada número en la lista se llama un "término".

a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...

Ejemplo: Consideremos una secuencia simple, donde cada término se define por la fórmula a_n = 1/n.

1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

Tipos de secuencias

  • Secuencia aritmética: Una secuencia en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante. La fórmula del término general es
    a_n = a_1 + (n-1)d
    Ejemplo: 2, 4, 6, 8, ... (aquí, d = 2).
  • Secuencia geométrica: Una secuencia en la que cada término después del primer término se encuentra multiplicando el término anterior por un número fijo, no cero, llamado el "razón común." El término común es la fórmula
    a_n = a_1 * r^(n-1)
    Ejemplo: 3, 6, 12, 24, ... (aquí, r = 2).
  • Secuencia convergente: Una secuencia que se acerca a un valor específico a medida que n se hace muy grande. Ejemplo:
    1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
    Esta secuencia converge a 0.
  • Secuencia divergente: Una secuencia que no converge a un límite. Ejemplo:
    1, 2, 3, 4, ...

Representación visual de una secuencia - convergencia

Imagina trazando la secuencia a_n = 1/n en un gráfico donde el eje x es el número del término n y el eje y es el valor del término a_n.

Uno N

A medida que n aumenta, los puntos se acercan al eje x, indicando visualmente la convergencia a 0.

Series

Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Si (a_n) es una secuencia, entonces la serie S_n se da por

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n

Si una secuencia de sumas parciales (S_n) converge a un límite S, entonces se dice que la serie es convergente, y S es la suma de la serie. De lo contrario, es divergente.

Las series pueden ser finitas, donde solo incluyen un número finito de términos, o infinitas, que continúan indefinidamente. Las series infinitas son particularmente importantes en el campo de las matemáticas avanzadas.

Tipos de series

  • Serie aritmética: La suma de los términos en una secuencia aritmética. Ejemplo:
    S_n = 2 + 4 + 6 + ...
  • Serie geométrica: La suma de los términos en una secuencia geométrica. Si r es la razón común, entonces la serie puede expresarse como
    S = a_1 / (1 - r) (si |r| < 1)
    Ejemplo:
    S = 3 + 6 + 12 + 24 + ...
  • Serie armónica: Serie típica donde cada término es inversamente proporcional a su posición en la secuencia:
    S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
    Esta serie es divergente, es decir, aumenta sin límite.
  • Serie de potencias: Series de esta forma:
    S = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ...
    Estas a menudo se usan para representar funciones en cálculo.

Prueba de convergencia

Para determinar si una serie infinita converge, se pueden aplicar varias pruebas:

  • Prueba de la razón: si
    lim (n -> ∞) |a_(n+1)/a_n| = L
    Y si L < 1, entonces la serie converge. Si L > 1, entonces diverge.
  • Prueba básica: si
    lim (n -> ∞) (|a_n|)^(1/n) = L
    Y si L < 1, entonces la serie converge. Si L > 1, entonces diverge.
  • Prueba de integración: Compara la serie con la integral impropia ∫f(x)dx. Si la integral converge, entonces la serie también converge.
  • Prueba de comparación: Compara con una serie de referencia conocida. Si la serie a_n es menor que la serie convergente b_n, entonces a_n converge.

Representación visual de una serie - serie geométrica convergente

Considera una serie geométrica en la que a_1 = 1 y r = 1/2. Cada término subsecuente se hace progresivamente más pequeño. Visualmente, la serie forma una secuencia temporal que disminuye exponencialmente hacia la suma total.

,

Esta suma obviamente converge a un valor finito, que en este caso es S = 2.

Reflexiones finales

Las secuencias y series son componentes cruciales en el análisis real y en muchas aplicaciones en matemáticas, física, informática e ingeniería. Comprender estas ideas nos permite manejar procesos infinitos de manera rigurosa y estructurada. Explorar estos conceptos es crucial para entender los límites, continuidad y cálculo diferencial. Es importante destacar que cierran la brecha entre las matemáticas discretas y continuas, proporcionando una comprensión coherente de las operaciones infinitas.


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Secuencias y series

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