Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Introducción al análisis real → Secuencias y series ↓


Serie de potencias


En matemáticas, las series de potencias proporcionan una forma muy poderosa de representar una función como una suma de componentes más simples, similares a los polinomios. Desempeñan un papel esencial en muchas áreas del análisis y son fundamentales para comprender cómo las funciones pueden ser aproximadas por polinomios, lo cual tiene aplicaciones en cálculo, ecuaciones diferenciales e incluso en campos fuera de las matemáticas, como la física y la ingeniería.

Una serie de potencias es una serie de la siguiente forma:

( sum_{n=0}^{infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + a_3(x - c)^3 + cdots )

Aquí, cada (a_n) es un coeficiente, (x) es una variable y (c) es una constante que determina el centro de la serie. Si (c = 0), entonces la serie se llama "serie de Maclaurin", de lo contrario es una "serie de Taylor".

El concepto de convergencia

El aspecto más importante al trabajar con series de potencias es comprender su convergencia. Las series de potencias pueden converger (sumar un valor finito) para algunos valores de (x) y divergir (no sumar un valor finito) para otros. El intervalo de valores de (x) para los cuales la serie converge se llama "intervalo de convergencia".

El radio de convergencia (R) es muy importante para determinar este intervalo. Se encuentra usando la fórmula:

( frac{1}{R} = limsup_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} )

El intervalo de convergencia es el conjunto de (x) para los cuales la serie converge, usualmente expresado en notación de intervalo centrada en (c), como ((cR, c+R)).

La idea de convergencia

Imagínese una línea de números donde la serie converge entre dos puntos alrededor del centro, (c). El radio de convergencia indica cuán lejos puede ir desde el centro y aún tener la serie convergiendo.

-R C+R C

Ejemplos de series de potencias

Consideremos algunas funciones elementales que tienen representaciones de series de potencias:

1. Función exponencial E(x)

La función exponencial (e^x) puede representarse mediante la siguiente serie de potencias:

( e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6} + cdots )

Esta serie converge para todos los valores de (x), lo que significa que su radio de convergencia es infinito.

2. Función seno

La función seno (sin(x)) puede escribirse como una serie de potencias centrada en cero:

( sin(x) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} - cdots )

El radio de convergencia para (sin(x)) también es infinito.

3. Función logarítmica

El logaritmo natural puede expresarse como una serie de potencias:

( ln(1+x) = sum_{n=1}^{infty} (-1)^{n+1} frac{x^n}{n} = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - cdots ) para |x| < 1.

Aquí el radio de convergencia es 1, y la serie converge entre (-1) y (1) para (x), sin incluir (-1) y (1).

Manipulación de series de potencias

Una vez establecida la serie de potencias, puede convertirse en una herramienta poderosa al permitir la manipulación de varias maneras: definir nuevas funciones, integrar y diferenciar la serie término a término, y mucho más. Esto es posible porque, dentro del intervalo de convergencia, las series de potencias se comportan como polinomios.

Diferenciación e integración término a término

Una propiedad fascinante de las series de potencias es que podemos diferenciarlas e integrarlas término a término. Por ejemplo, considere la serie de potencias para (sin(x)):

( sin(x) = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - cdots )

Integrando término a término para encontrar la antiderivada:

( int sin(x) , dx = int big( x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} - cdots big) , dx )
= frac{x^2}{2} - frac{x^4}{24} + frac{x^6}{720} - cdots + C)

Diferencias término a término:

( frac{d}{dx} sin(x) = frac{d}{dx} big( x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} - cdots big) )
= 1 - frac{3x^2}{6} + frac{5x^4}{120} - cdots)

Este proceso proporciona otra serie de potencias que representa la derivada o la integral de la función original.

Aplicaciones de las series de potencias

Las series de potencias solas pueden parecer herramientas matemáticas abstractas, pero desempeñan un papel importante en aplicaciones prácticas en diversos campos debido a su naturaleza de aproximación cercana a funciones.

Funciones de aproximación

La aplicación más importante de las series de potencias es aproximar funciones. Por ejemplo, calcular los valores de las funciones trascendentales (sin(x)), (cos(x)) o (exp(x)) directamente puede ser bastante complicado. Sin embargo, utilizar una expansión en serie de potencias proporciona una aproximación polinómica que es más fácil de calcular:

( sin(x) approx x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} ) para (x) pequeño

Resolución de ecuaciones diferenciales

Las series de potencias se pueden utilizar para resolver ecuaciones diferenciales sustituyendo la representación de la serie en la ecuación y comparando los coeficientes. Este enfoque es particularmente útil para ecuaciones que no tienen soluciones en términos de funciones elementales.

Procesamiento de señales y física

En física e ingeniería, las señales pueden representarse como funciones del tiempo. Las series de potencias ayudan en el análisis de Fourier, donde las señales se descomponen en componentes sinusoidales, ayudando en el análisis y síntesis de señales y sistemas.

Reflexiones finales sobre series de potencias

De nuestra exploración de las series de potencias, han surgido no solo como abstracciones matemáticas sino como herramientas importantes que simplifican cálculos complejos, aproximan funciones que de otro modo serían difíciles de manejar y proporcionan una base para modelos complejos en física e ingeniería. Los matemáticos y científicos valoran las series de potencias por su solidez y versatilidad en innumerables campos.

Ya sea comprendidas en el contexto de las matemáticas puras o aplicadas, las series de potencias puentean la brecha entre soluciones exactas y aproximaciones prácticas, manteniendo la precisión y aumentando la eficiencia computacional.


Posgrado → 1.3.4


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (1.3.3)
Convergencia uniforme
Siguiente (1.4) →
Discriminación

Comentarios 



Serie de potencias

https://www.buddymath.com/g/1.3.4?bmal=es