Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Введение в математический анализ → Последовательности и ряды ↓


Бесконечные ряды


Бесконечный ряд — это сумма бесконечного количества членов, которая записывается как:

∑ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ...

где an представляет собой n член ряда. Бесконечные ряды важны в математическом анализе и используются для представления многих математических явлений, таких как функции, исчисление и другие.

Для начала рассмотрим простые арифметические операции, распространенные на бесконечные члены. Бесконечный ряд может быть сходящимся или расходящимся. Сходящийся бесконечный ряд приближается к конечной сумме по мере увеличения числа членов до бесконечности. Напротив, расходящийся ряд не приближается ни к какому конечному пределу по мере неограниченного увеличения количества членов.

Понимание бесконечной суммы на примере

Рассмотрим ряд:

$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n} = frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + frac{1}{16} + ldots $

Это геометрическая прогрессия, где первый член a = frac{1}{2} и общее соотношение r = frac{1}{2}. Сумма S бесконечной геометрической прогрессии, для которой |r| < 1, задается формулой:

$ S = frac{a}{1 - r} $

Для нашего ряда:

$ S = frac{frac{1}{2}}{1 - frac{1}{2}} = 1 $

Он сходится геометрически к 1. Несмотря на бесконечную природу ряда, сумма приближается к 1 по мере неограниченного увеличения числа членов.

Визуальное представление ряда

11/21/4

На рисунке выше каждая цветная часть представляет собой уменьшение предыдущей части вдвое, визуально демонстрируя сходство к 1 по мере бесконечного добавления квадратов.

Типы бесконечных рядов

  • Геометрический ряд:

    • Ряд вида a + ar + ar^2 + ar^3 + ... Сходится, если |r| < 1.

  • Гармонический ряд:

    • Ряд вида 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + ... Известно, что гармонический ряд расходится.

  • Ряд P:

    • Ряд вида sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}. Он сходится, если p > 1 и расходится в противном случае.

  • Степенной ряд:

    • Ряд вида sum_{n=0}^{infty} c_n(xa)^n, где каждый член содержит степени переменной.

Тест на сходимость

Различные тесты определяют, сходится ли бесконечный ряд:

  1. Тест на отношение: рассматривает диапазон:
    2. L = lim (n→∞) |a n+1 / a n |

    Если L < 1, ряд сходится. Если L > 1, он расходится. Если L = 1, тест не имеет решения.

  2. Корневой тест: рассматривает предел:
    3. L = lim (n→∞) n√|a n |

    Критерии сходимости и расходимости аналогичны тесту на отношение.

  3. Тест сравнения:

    4. Если 0 ≤ a n ≤ b n для всех n и sum b n сходится, то sum a n также сходится. Наоборот, если sum a n расходится, то sum b n также расходится.

Примеры сходимости и расходимости

Пример 1: Рассмотрим геометрический ряд sum frac{1}{3^n}.

$ frac{a}{1 - r} = frac{frac{1}{3}}{1 - frac{1}{3}} = frac{1}{2} $

Так как |r = frac{1}{3}| < 1, он сходится к frac{1}{2}.

Пример 2: Гармонический ряд sum frac{1}{n} расходится, что доказывается интеграцией с p = 1 или тестом ряда P.

Практическое применение бесконечных рядов

Бесконечные ряды встречаются повсеместно в различных областях математики и прикладных наук, таких как:

  • Математический анализ: Бесконечные ряды обеспечивают разложения функций в степени, такие как ряды Тейлора и Маклорена.
  • Физика: квантовая механика для моделирования таких явлений, как волновые функции.
  • Инженерное дело: ряды Фурье для обработки сигналов.

Заключительные мысли

Бесконечные ряды являются фундаментальными конструкциями в математике и важны для передовых академических сфер и различных реальных приложений. Понимание критериев сходимости важно для использования этих рядов для аппроксимации функций, решения уравнений и точного моделирования природных явлений.


Магистратура → 1.3.2


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (1.3.1)
Сходимость последовательностей
следующая (1.3.3) →
Равномерная сходимость

комментарии 



Бесконечные ряды

https://www.buddymath.com/g/1.3.2?bmal=ru