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अनंत श्रेणी
अनंत श्रेणी का अर्थ है अनंत पदों का योग, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:
∑ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ...
जहां an श्रेणी में n वें पद का प्रतिनिधित्व करता है। गणितीय विश्लेषण में अनंत श्रेणियाँ महत्वपूर्ण हैं और कई गणितीय घटनाओं जैसे कि फलन, कैलकुलस और अन्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाती हैं।
शुरुआत करने के लिए, चलिए सरल अंकगणितीय क्रियाओं को अनंत पदों तक विस्तारित करते हैं। एक अनंत श्रेणी संयमक या अपवर्ती हो सकती है। एक संयमक अनंत श्रेणी एक सीमित योग की ओर बढ़ती है जब पदों की संख्या अनंत की ओर बढ़ती है। दूसरी ओर, एक अपवर्ती श्रेणी किसी भी सीमित सीमा की ओर नहीं बढ़ती जब पदों की संख्या अनंत तक बढ़ती है।
उदाहरण के साथ अनंत योग की समझ
श्रेणी पर विचार करें:
$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n} = frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + frac{1}{16} + ldots $
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है जहां पहला पद a = frac{1}{2} और सामान अनुपात r = frac{1}{2} है। |r| < 1 होने पर अनंत गुणोत्तर अनुक्रम का योग S निम्नलिखित होता है:
$ S = frac{a}{1 - r} $
हमारी श्रृंखला के लिए:
$ S = frac{frac{1}{2}}{1 - frac{1}{2}} = 1 $
यह ज्यामितीय रूप से 1 के साथ संयोजित होता है। श्रृंखला की अनंत प्रकृति के बावजूद, योग 1 के नजदीक होता है जैसे-जैसे पदों की संख्या अनंत हो जाती है।
श्रेणी का दृश्य प्रदर्शन
उपरोक्त चित्र में, प्रत्येक रंगीन हिस्सा पिछले हिस्से का आधा दर्शाता है, जो अनंत रूप से जोड़ने पर 1 की ओर ज्यामितीय संयम को प्रदर्शित करता है।
अनंत श्रेणियों के प्रकार
- गुणोत्तर श्रेणी:
- हरमिक श्रेणी:
- पी-श्रृंखला:
- पॉवर श्रृंखला:
फार्म की एक श्रेणी a + ar + ar^2 + ar^3 + .... यह संतुलित होती है अगर |r| < 1।
फार्म में एक श्रेणी 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + ... हरमिक श्रेणी को अपवर्ती माना जाता है।
फ़ॉर्म की एक श्रृंखला sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}. यह संतुलित होती है अगर p > 1 और अन्यथा अपवर्ती।
फार्म का एक श्रृंखला sum_{n=0}^{infty} c_n(xa)^n, जहां प्रत्येक पद में एक चर के घातांक होते हैं।
संयम परीक्षण
विभिन्न परीक्षण निर्धारित करते हैं कि क्या कोई अनंत श्रृंखला संयमक है:
- अनुपात परीक्षण: सीमा पर विचार करता है:
- मूल परीक्षण: सीमा पर विचार करता है:
- तुलना परीक्षण:
L = lim (n→∞) |a n+1 / a n |
अगर L < 1, श्रृंखला संयमक है। अगर L > 1, यह अपवर्ती है। अगर L = 1, परीक्षण निर्णायक नहीं है।
L = lim (n→∞) n√|a n |
संयम और अपवर्तन के मापदंड अनुपात परीक्षणों के समान हैं।
अगर 0 ≤ a n ≤ b n सभी n के लिए हैं और sum b n संयमक है, तो sum a n भी संयमक है। इसके विपरीत, अगर sum a n अपवर्ती है, तो sum b n भी अपवर्ती है।
संयम और अपवर्तन के उदाहरण
उदाहरण 1: गुणोत्तर श्रेणी sum frac{1}{3^n} पर विचार करें।
$ frac{a}{1 - r} = frac{frac{1}{3}}{1 - frac{1}{3}} = frac{1}{2} $
चूंकि |r = frac{1}{3}| < 1, यह frac{1}{2} तक संयोजित होता है।
उदाहरण 2: हरमिक श्रेणी sum frac{1}{n} अपवर्ती है, जिसे p = 1 या p-श्रृंखला परीक्षण से प्रदर्शित किया गया है।
अनंत श्रेणियों के व्यावहारिक अनुप्रयोग
अनंत श्रेणियाँ विभिन्न गणितीय और अनुप्रयुक्त विज्ञान के क्षेत्रों में सर्वविदित हैं जैसे:
- कैलकुलस: अनंत श्रेणियाँ फलन के पॉवर विस्तार प्रदान करती हैं, जैसे टेलर और मैक्लॉरिन श्रृंखला।
- भौतिकी: क्वांटम मैकेनिक्स तरंग फलनों जैसी घटनाओं को मॉडल करने के लिए।
- इंजीनियरिंग: सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए फूरियर श्रृंखला।
समापन विचार
अनंत श्रेणियाँ गणित के मूलभूत ढाँचे हैं और उच्च शैक्षणिक क्षेत्रों और वास्तविक दुनिया के विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण हैं। इन श्रृंखलाओं का उपयोग फलनों को लगभग करने, समीकरणों को हल करने और प्राकृतिक घटनाओं को सटीक रूप से जोड़ते समय संयम मापदंड को समझना महत्वपूर्ण है।
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