Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Series infinitas


Una serie infinita es la suma de términos infinitos, que se escribe como:

∑ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ...

donde an representa el término n en la serie. Las series infinitas son importantes en el análisis matemático y se utilizan para representar muchos fenómenos matemáticos tales como funciones, cálculo y otros.

Para comenzar, consideremos operaciones aritméticas simples extendidas a términos infinitos. Una serie infinita puede ser convergente o divergente. Una serie infinita convergente se aproxima a una suma finita a medida que el número de términos tiende a infinito. Por el contrario, una serie divergente no se aproxima a ningún límite finito a medida que el número de términos crece indefinidamente.

Entendiendo la suma infinita con un ejemplo

Consideremos la serie:

$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n} = frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + frac{1}{16} + ldots $

Es una progresión geométrica donde el primer término a = frac{1}{2} y la razón común r = frac{1}{2}. La suma S de una progresión geométrica infinita donde |r| < 1 se da por:

$ S = frac{a}{1 - r} $

Para nuestra serie:

$ S = frac{frac{1}{2}}{1 - frac{1}{2}} = 1 $

Converge geométricamente a 1. A pesar de la naturaleza infinita de la serie, la suma se aproxima a 1 a medida que el número de términos aumenta indefinidamente.

Representación visual de la serie

11/21/4

En la figura anterior, cada porción coloreada representa la mitad de la porción anterior, demostrando visualmente la convergencia a 1 a medida que los cuadrados continúan siendo añadidos infinitamente.

Tipos de series infinitas

  • Serie geométrica:

    • Una serie de la forma a + ar + ar^2 + ar^3 + ... Converge si |r| < 1.

  • Serie armónica:

    • Una serie en la forma 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + ... Se sabe que la serie armónica diverge.

  • Serie p:

    • Una serie de la forma sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}. Es convergente si p > 1 y divergente en caso contrario.

  • Serie de potencias:

    • Una serie de la forma sum_{n=0}^{infty} c_n(xa)^n, donde cada término contiene potencias de una variable.

Prueba de convergencia

Varios tests determinan si una serie infinita converge:

  1. Prueba del cociente: considera el rango:
    2. L = lim (n→∞) |a n+1 / a n |

    Si L < 1, la serie es convergente. Si L > 1, es divergente. Si L = 1, la prueba es inconclusa.

  2. Prueba de la raíz: considera el límite:
    3. L = lim (n→∞) n√|a n |

    Los criterios de convergencia y divergencia son similares a los de las pruebas del cociente.

  3. Prueba de comparación:

    4. Si 0 ≤ a n ≤ b n para todo n y sum b n es convergente, entonces sum a n también es convergente. Por el contrario, si sum a n es divergente, entonces sum b n también es divergente.

Ejemplos de convergencia y divergencia

Ejemplo 1: Considere la serie geométrica sum frac{1}{3^n}.

$ frac{a}{1 - r} = frac{frac{1}{3}}{1 - frac{1}{3}} = frac{1}{2} $

Como |r = frac{1}{3}| < 1, converge a frac{1}{2}.

Ejemplo 2: La serie armónica sum frac{1}{n} diverge, lo que se prueba por integración con p = 1 o por la prueba de la serie p.

Aplicaciones prácticas de series infinitas

Las series infinitas aparecen ubicuamente en varias áreas de las matemáticas y las ciencias aplicadas tales como:

  • Cálculo: Las series infinitas proporcionan expansiones de funciones en potencias, como las series de Taylor y Maclaurin.
  • Física: En mecánica cuántica para modelar fenómenos como funciones de onda.
  • Ingeniería: Series de Fourier para el procesamiento de señales.

Reflexiones finales

Las series infinitas son constructos fundamentales en matemáticas y son importantes para campos académicos avanzados y una variedad de aplicaciones en el mundo real. Comprender los criterios de convergencia es importante para usar estas series para aproximar funciones, resolver ecuaciones y modelar fenómenos naturales con precisión.


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