मेट्रिक स्पेस में सतत फलन

वास्तविक विश्लेषण के क्षेत्र में, विशेष रूप से मेट्रिक स्पेस के अध्ययन में, एक अनिवार्य अवधारणा सतत फलनों की होती है। मेट्रिक स्पेस के संदर्भ में सतत फलनों को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि मेट्रिक स्पेस कई विचारों को सामान्यीकृत करते हैं जो कैलकुलस और वास्तविक विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। यह चर्चा स्नातकोत्तर छात्रों के लिए मेट्रिक स्पेस में सतत फलनों की एक गहन खोज प्रस्तुत करती है।

परिचय

मेट्रिक स्पेस में सतत फलनों की अवधारणा की सराहना करने के लिए, यह देखना उपयोगी है कि अधिक परिचित वास्तविक संख्या सेटिंग में निरंतरता का मतलब क्या है। एक फलन f: mathbb{R} rightarrow mathbb{R} के लिए, हम कहते हैं कि f एक बिंदु x पर सतत है, यदि हर epsilon > 0 के लिए, एक delta > 0 मौजूद है, जिससे जब भी |x - x_0| < delta हो, तो |f(x) - f(x_0)| < epsilon होता है। इस epsilon-delta परिभाषा को मेट्रिक स्पेस के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

मेट्रिक स्पेस

एक मेट्रिक स्पेस एक सेट X होता है, जिसे एक फलन d: X times X rightarrow mathbb{R} द्वारा जाना जाता है, जिसे मेट्रिक कहा जाता है, जो X के किसी भी दो तत्वों के बीच दूरी मापता है। फलन d को सभी x, y, z in X के लिए निम्नलिखित गुणों को संतोषजनक होना चाहिए:

• गैर-नकारात्मकता: d(x, y) ge 0, और d(x, y) = 0 तभी जब x = y।
• समानता: d(x, y) = d(y, x)
• त्रिभुज असमिका: d(x, z) le d(x, y) + d(y, z)।

मेट्रिक स्पेस के कुछ सामान्य उदाहरण निम्नलिखित हैं:

• समान्य दूरी मेट्रिक d(x, y) = |x - y| के साथ वास्तविक संख्याओं का सेट mathbb{R}।
• यूक्लिडियन स्पेस mathbb{R}^n, दूरी मेट्रिक d(x, y) = sqrt{(x_1 - y_1)^2 + cdots + (x_n - y_n)^2} के साथ।
• विच्छिन्न मेट्रिक स्पेस, जहाँ d(x, y) = 1 यदि x neq y और d(x, y) = 0 यदि x = y।

मेट्रिक स्पेस में सतत फलन

मान लें कि (X, d_X) और (Y, d_Y) मेट्रिक स्पेस हैं। एक फलन f: X rightarrow Y को किसी बिंदु x_0 in X पर सतत कहा जाता है यदि हर epsilon > 0 के लिए, एक delta > 0 मौजूद है ऐसा कि यदि d_X(x, x_0) < delta, तो d_Y(f(x), f(x_0)) < epsilon।

एक फलन f X पर सतत होता है यदि यह X के प्रत्येक बिंदु x in X पर सतत होता है।

दृश्य उदाहरण: यूक्लिडियन स्पेस में निरंतरता

उपरोक्त चित्र में, बायाँ वृत्त x_0 के चारों ओर delta-नेबरहुड को दर्शाता है और दायाँ वृत्त f(x_0) के चारों ओर epsilon-नेबरहुड को दर्शाता है। फलन f डोमेन X के delta-गेंद के भीतर बिंदुओं को सह-डोमेन Y के epsilon-गेंद के भीतर बिंदुओं पर मानचित्रण करता है।

सतत फलनों के प्रमुख गुण

सतत फलनों के संयोजन

यदि f: (X, d_X) rightarrow (Y, d_Y) और g: (Y, d_Y) rightarrow (Z, d_Z) सतत फलन हैं, तो संयोजन g circ f: (X, d_X) rightarrow (Z, d_Z) सतत होता है।

सतत फलन और बंद सेट

एक फलन f: (X, d_X) rightarrow (Y, d_Y) सतत होता है यदि और केवल तब जब प्रत्येक बंद सेट C subseteq Y के लिए, प्रीमेज f^{-1}(C) X में बंद होता है।

सतत फलन और खुले सेट

इसी प्रकार, एक फलन f: (X, d_X) rightarrow (Y, d_Y) सतत होता है यदि और केवल तब जब प्रत्येक खुले सेट U subseteq Y के लिए, प्रीमेज f^{-1}(U) X में खुला होता है।

उदाहरण और गैर-उदाहरण

उदाहरण 1: पहचान फलन

पहचान फलन id: (X, d) rightarrow (X, d) पर विचार करें, जिसे id(x) = x के द्वारा परिभाषित किया जाता है सभी x in X के लिए। यह फलन सतत है क्योंकि x और x_0 के बीच की दूरी सीधे id(x) और id(x_0) के बीच उसी दूरी में बदल जाती है।

उदाहरण 2: स्थिर फलन

मान लें कि f: (X, d_X) rightarrow (Y, d_Y) एक स्थिर फलन है, अर्थात, f(x) = c कुछ c in Y के लिए। यह फलन सतत है क्योंकि किसी भी epsilon > 0 के लिए delta को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है क्योंकि f(x) की छवि हमेशा c होती है।

उदाहरण 3: दूरी फलन

फलन f: mathbb{R}^2 rightarrow mathbb{R}, जिसे f(x, y) = sqrt{x^2 + y^2} के द्वारा दिया जाता है, जो मूल बिंदु से यूक्लिडियन दूरी को दर्शाता है, सतत है। ज्यामितीय दृष्टिकोण से देखें तो (x, y) में छोटे परिवर्तन उनके मूल से दूरी में छोटे परिवर्तन उत्पन्न करते हैं।

गैर-उदाहरण: स्टेप फलन

एक फलन f: mathbb{R} rightarrow mathbb{R} पर विचार करें, जिसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया गया है:

f(x) = { 
    1, अगर x > 0;
    0, अगर x ≤ 0.
,

यह स्टेप फलन x = 0 पर सतत नहीं है। इस बिंदु पर, कितना भी छोटा delta चुना जाए, निरंतरता स्थिति असफल हो जाती है क्योंकि f 0 से 1 तक जम्प करता है।

सतत फलनों से संबंधित प्रमेय

बोरेल का प्रमेय

यदि f: mathbb{R} rightarrow mathbb{R} सतत है, तो f के अंतर्गत एक कॉम्पेक्ट सेट की छवि भी कॉम्पेक्ट होती है। यह सतत फलनों के सामान्य व्यवहार में कॉम्पेक्टनेस को संरक्षित करता है।

समान्य निरंतरता

निरंतरता का एक मजबूत रूप समान्यता निरंतरता है। एक फलन f: X rightarrow Y समान्य रूप से सतत होता है यदि प्रत्येक epsilon > 0 के लिए, एक delta > 0 मौजूद है जिससे किसी भी x_1, x_2 in X के लिए d_X(x_1, x_2) < delta होने पर d_Y(f(x_1), f(x_2)) < epsilon होता है। यहाँ, delta बिंदु x in X से स्वतंत्र होता है।

एक डोमेन की कॉम्पेक्टनेस समान्य निरंतरता को निहित करती है यदि सतत फलन एक कॉम्पेक्ट स्पेस X से एक मेट्रिक स्पेस Y तक जाती है।

निष्कर्ष

मेट्रिक स्पेस के ढांचे के भीतर सतत फलनों की प्रकृति को समझना एक-आयामी सेटिंग्स में आपने जो कैलकुलस सीखा है, उसे सामान्यीकृत करता है। यह इस बात पर एक सूक्ष्म नज़र डालने की अनुमति देता है कि फलन दूरी की बाधाओं के तहत कैसे व्यवहार करते हैं और वास्तविक और अमूर्त विश्लेषण में अन्य उन्नत विषयों की ओर ले जाते हैं।

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