Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Introducción al análisis real → Espacio métrico ↓


Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos


En el campo del análisis real, un concepto esencial es el de conjuntos abiertos y cerrados, específicamente dentro de espacios métricos. Antes de profundizar en la discusión principal, es importante entender qué es un espacio métrico. Un espacio métrico es un conjunto equipado con una métrica, que es una función que define la distancia entre cada par de puntos en el conjunto. Un ejemplo concreto y común de un espacio métrico es el conjunto de números reales cuya distancia usual se define como:

d(x, y) = |x - y|

donde |x - y| es el valor absoluto de la diferencia entre x y y. Sin embargo, los espacios métricos pueden ser mucho más abstractos e incluir espacios de funciones, puntos multidimensionales y mucho más.

Entendiendo los conjuntos abiertos

Un conjunto abierto en un espacio métrico es un concepto intuitivo que es similar a la idea de un intervalo que no contiene sus extremos. Para definir formalmente los conjuntos abiertos:

Un conjunto U en un espacio métrico (X, d) se llama abierto si para cada punto x en U existe una bola de radio r > 0 tal que la bola B(x, r) está contenida en U. Aquí, B(x, r) denota el conjunto de todos los puntos y en X tal que d(x, y) < r.

Esto puede parecer un poco abstracto a primera vista, pero vamos a entenderlo con un ejemplo simple.

Ejemplo de un conjunto abierto en la recta real

Consideremos el intervalo (0, 1) en la recta de números reales. Comprobemos si es un conjunto abierto. Elija cualquier punto x en el intervalo tal que 0.5. Debemos encontrar un radio r tal que todos los puntos dentro de una distancia r de x aún se encuentren dentro del intervalo (0, 1).

Elija r = 0.1. La bola B(0.5, 0.1) es el conjunto de todos los puntos y tal que |y - 0.5| < 0.1, que es el intervalo (0.4, 0.6). Claramente, (0.4, 0.6) está completamente contenido dentro del intervalo (0, 1), lo que demuestra que (0, 1) es, de hecho, un conjunto abierto.

+--------------------------+ 0 0.4 0.5 0.6 1

Visualización de conjuntos abiertos

X Y

En la visualización anterior, cada círculo alrededor de los puntos x y y representa una bola abierta que está totalmente contenida en el intervalo. La línea representa toda la recta real, mientras que el segmento entre los círculos representa el intervalo abierto.

Propiedades de los conjuntos abiertos

Existen varias propiedades importantes de los conjuntos abiertos:

  • La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es abierta.
  • La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta.
  • Todo el espacio X y el conjunto vacío ∅ son ambos abiertos.

Entendiendo los conjuntos cerrados

Los complementos de los conjuntos abiertos son conjuntos cerrados. La idea de conjuntos cerrados está vinculada al concepto de límites y puntos de acumulación. Formalmente:

Un conjunto C en un espacio métrico (X, d) es cerrado si contiene todos sus puntos límite. Equivalente, C es cerrado si el complemento de C en X, denotado por X C, es abierto.

Ejemplo de un conjunto cerrado en la recta real

Considere el intervalo cerrado [0, 1]. ¿Contiene todos sus puntos de frontera? Tomemos un punto x = 0 en la frontera. Fuera de este punto no hay otro punto y dentro del intervalo, de manera que cualquier secuencia que converja a 0 se encuentra fuera de [0, 1]. Cada subsecuencia se encuentra dentro de la frontera [0, 1].

x ∈ [0, 1] such that x_n → x

Esto demuestra que [0, 1] es cerrado ya que contiene todos los puntos de frontera.

Visualización de conjuntos cerrados

0 1

En la visualización anterior, los puntos extremos están incluidos, lo que muestra la naturaleza cerrada de [0, 1]. La línea negra representa la recta real y los círculos llenos representan los puntos extremos incluidos.

Propiedades de los conjuntos cerrados

Los conjuntos cerrados tienen propiedades específicas que forman un marco fundamental para el análisis:

  • La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es cerrada.
  • La unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada.
  • Todo el espacio X y el conjunto vacío ∅ son ambos cerrados.

Más allá de abierto y cerrado: puntos límite y puntos de frontera

Para una comprensión más profunda de los conjuntos abiertos y cerrados, es útil explorar conceptos relacionados como los puntos límite y los puntos de frontera.

Punto límite

Un punto límite de un conjunto S es un punto x que tiene al menos un punto de S diferente de x en cada vecindad. Esto ayuda a identificar el cierre de S, que es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a S.

Punto límite

El punto límite de un conjunto S es el punto b para el cual cada vecindad intersecta tanto S como su complemento. Sirve como la interfaz entre el conjunto y el espacio más allá de él.

Conclusión

Los conjuntos abiertos y cerrados forman los bloques fundamentales en el estudio de espacios métricos y topológicos. Los conjuntos abiertos están íntimamente conectados con los conceptos de continuidad y convergencia, con paralelismos en el mundo real en forma de intervalos abiertos. Los conjuntos cerrados albergan puntos límite y son fundamentales para definir la completitud y la compacidad. Comprender uno a menudo ayuda a comprender el otro, y juntos, estos conjuntos ayudan a ilustrar el rico entramado de relaciones en espacios analíticos.

Desde intervalos en la recta real hasta espacios generalizados de mayor dimensión, las ideas de conjuntos abiertos y cerrados surgen una y otra vez, revelando estructura y significado en paisajes matemáticos. Armados con estas ideas, conceptos más complejos en análisis se vuelven accesibles, sentando las bases para una exploración y descubrimiento más profundos.


Posgrado → 1.2.1


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (1.2)
Espacio métrico
Siguiente (1.2.2) →
Convergencia de secuencias en un espacio métrico

Comentarios 



Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos

https://www.buddymath.com/g/1.2.1?bmal=es