Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Введение в математический анализ ↓


Теория множеств и логика в реальном анализе


В области математики, особенно в реальном анализе, два фундаментальных понятия, которые необходимо понимать, — это теория множеств и логика. Эти математические структуры позволяют определять и манипулировать коллекциями объектов, устанавливать строгие доказательства и создавать язык, который позволяет точно и лаконично передавать математические идеи.

Понимание множеств

На самом базовом уровне множество — это простая коллекция индивидуальных объектов, рассматриваемых как единое целое. Эти объекты могут быть чем угодно: числами, символами или даже другими множествами. Вот пример простого множества:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

В данном случае A — это множество, содержащее числа от 1 до 5. Каждое число называется элементом или членом множества A.

Основные обозначения множеств

Множества могут быть представлены с использованием разных обозначений:

  • Нотация перечисления (либо табличная форма): множество перечисляется явно. Например, B = {a, e, i, o, u} представляет множество гласных.
  • Нотация определения множеств: множество определяется свойством, которому должны удовлетворять его члены. Например, C = {x | x является положительным целым числом меньше 6}.

Визуальные представления могут быть использованы для представления множеств. Рассмотрим следующее:

A

Здесь круг представляет множество A. Множества также могут пересекаться или не пересекаться.

Операции над множествами

Как и числа, множества можно объединять и преобразовывать различными способами:

Объединение

Объединением двух множеств является множество элементов, которые находятся либо в одном из множеств, либо в обоих. Если A = {1, 2, 3} и B = {3, 4, 5}, то объединение дается формулой:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A B

Пересечение

Пересечением двух множеств является множество элементов, которые являются общими для обоих множеств. Используя те же множества A и B, пересечение будет:

A ∩ B = {3}

Разность

Разностью множеств A и B (обозначается A - B или A B) является множество элементов, которые находятся в A, но не находятся в B:

A - B = {1, 2}

Дополнение

Дополнением множества A (обозначается A' или Ac) относительно универсального множества U является множество всех элементов U, которые не входят в A.

Если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и A = {1, 2, 3} Тогда A' = {4, 5, 6}

Визуальное представление операций

U (универсальное множество) A

Логика в математике

Логика является основой математического мышления и доказательств. Она предоставляет структуру для выведения новых истин из установленных фактов.

Утверждения и значения истинности

В логике утверждение или предложение — это выражение, которое может быть истинным или ложным, но не и тем, и другим одновременно. Например:

  • Число 5 является простым. Это истинное утверждение.
  • Каждое четное число — простое. Это ложное утверждение.

Логические связки

Логические связки позволяют создавать новые утверждения из существующих:

  • Конъюнкция: P ∧ Q (P и Q) истинно, только если P и Q истинны.
  • Дизъюнкция: P ∨ Q (P или Q) истинно, если хотя бы одно из P или Q истинно.
  • Отрицание: Если P ложно, то ¬P (не P) истинно.
  • Импликация: P → Q (Если P, то Q) ложно, только если P истинно, а Q ложно.
  • Бикондиционал: P ↔ Q (P тогда и только тогда, когда Q) истинно, если оба P и Q либо истинны, либо ложны.

Таблицы истинности

Таблица истинности — это математическая таблица, используемая для определения истинности или ложности составного утверждения. Вот пример для конъюнкции:

PQP ∧ Q
TTT
TFF
FTF
FFF

Кванторы в логике

Логические кванторы выражают степень, до которой некоторое свойство истинно для ряда элементов:

  • Универсальный квантор: Символ ∀ обозначает "для всех". Например, ∀x (x > 0) значит "для всех x, x больше 0".
  • Экзистенциальный квантор: Символ ∃ указывает на "существует". Например, ∃x (x < 0) значит "существует x, такой, что x меньше 0".

Логика и теория множеств в реальном анализе

Реальный анализ широко использует теорию множеств и логику для определения и доказательства концепций, связанных с пределами, непрерывностью и интегралами. Например, при обсуждении пределов:

Последовательность {a_n} сходится к пределу L, если для каждого положительного числа ε (эпсилон) существует положительное целое число N, такое что для всех n > N абсолютное значение |a_n - L| < ε.

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ такое что ∀n > N, |a_n - L| < ε

Заключение

Теория множеств и логика являются фундаментальными инструментами, которые пронизывают реальный анализ. Будь то определение последовательностей, работа с пределами или понимание непрерывности, принципы теории множеств и логики предоставляют необходимую структуру для формулирования и доказательства математических идей. Понимание этих концепций важно для всех, кто занимается углубленной математикой, и формирует прочную основу для дальнейшего изучения в реальном анализе.


Магистратура → 1.1


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (1)
Введение в математический анализ
следующая (1.1.1) →
Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе

комментарии 



Теория множеств и логика в реальном анализе

https://www.buddymath.com/g/1.1?bmal=ru