Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Introducción al análisis real → Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real ↓


Cardinalidad de conjuntos


En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos y análisis real, el concepto de cardinalidad de un conjunto es un concepto fundamental. La cardinalidad se refiere al número de elementos en un conjunto. Comprender la cardinalidad ayuda a los matemáticos a comparar diferentes conjuntos en términos de tamaño, incluso cuando se trata de conjuntos potencialmente infinitos.

Conceptos básicos de conjuntos

Antes de explorar la cardinalidad, comencemos con los fundamentos de la teoría de conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos distintos que se trata como un objeto en sí mismo. Los conjuntos generalmente se representan con llaves, así:

{1, 2, 3, 4}

Este es un grupo con cuatro elementos: 1, 2, 3 y 4.

Conjuntos finitos e infinitos

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos:

  • Conjunto finito: Un conjunto con un número finito de elementos, como: 
    {manzana, plátano, cereza}
    Hay tres elementos en este conjunto.
  • Conjunto infinito: Un conjunto con un número infinito de elementos, como el conjunto de todos los números naturales: 
    {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Definición de cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto es una medida del "número de elementos" presentes en ese conjunto. Para un conjunto finito, la cardinalidad es el número de elementos distintos. Por ejemplo:

conjunto 

{2, 4, 6}
Su cardinalidad es 3.

La cardinalidad se representa a menudo usando símbolos de valor absoluto. Si A es un conjunto, la cardinalidad de A se representa como |A|. Por ejemplo:

|{2, 4, 6}| = 3

Comparación de cardinalidad

Cuando se trata de comparar el tamaño de dos conjuntos, nos centramos en si hay una correspondencia uno a uno (también conocida como biyección) entre los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo visual de correspondencia uno a uno

Conjunto A: {a, b, c} Conjunto B: {1, 2, 3}
A B C 1 2 3

En este ejemplo, hay una correspondencia uno a uno entre los elementos del Conjunto A y el Conjunto B, de modo que cada elemento en A corresponde a un elemento único en B. Por lo tanto, la cardinalidad de los dos conjuntos es igual.

Conjuntos infinitos y cardinalidad

Las cosas se vuelven aún más interesantes cuando se trata de conjuntos infinitos. No todas las infinitudes son iguales, y aquí es donde la noción de cardinalidad ayuda a distinguir entre diferentes tipos de conjuntos infinitos.

Infinito contable

Un conjunto se llama infinito contablemente si sus elementos se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales. El ejemplo más común es el conjunto de todos los números naturales:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Otro conjunto infinito contable común es el conjunto de todos los números pares:

E = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

Aunque tanto N como E son infinitos, podemos establecer una correspondencia uno a uno entre ellos. Por lo tanto, su cardinalidad es la misma.

Incontablemente infinito

Un conjunto infinito que no puede ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales se llama incontable.

Un ejemplo de un conjunto incontable es el conjunto de números reales entre 0 y 1. No importa cómo trates de enumerarlos, siempre habrá algunos números reales que perderás. Esto fue demostrado de manera famosa por el argumento diagonal de Cantor.

Argumento diagonal de Cantor

El argumento diagonal de Cantor muestra que hay más números reales entre 0 y 1 que números naturales.

Supongamos, para el bien de la contradicción, que podemos enumerar todos los números reales entre 0 y 1. Supongamos que la lista se ve así:

0. a1a2a3... 0. b1b2b3... 0. c1c2c3... ..

Cantor construyó un nuevo número reemplazando cada dígito n del número n, asegurándose de que este nuevo número no pudiera ser parte de la lista, demostrando así que el conjunto de números reales es incontable.

Visualización de conjuntos contables e incontables

La comprensión visual puede mejorarse aún más al entender que los conjuntos contables, como los números naturales, pueden representarse como una lista, mientras que los conjuntos incontables, como la recta numérica real, pueden representarse como una extensión continua sin huecos.

N: , Número real: Continuo

Tipos de cardinalidad

La cardinalidad de conjuntos finitos es simplemente el conteo de elementos, pero los conjuntos infinitos tienen un tipo único de cardinalidad.

La menor cardinalidad infinita: ℵ 0

La cardinalidad de cualquier conjunto infinito contable, como los números naturales, los enteros o los números racionales, está representada por ℵ 0 (pronunciado "alef-cero").

Cardinalidad del continuo

La cardinalidad de los números reales se llama la cardinalidad del continuo, denotada por c. Cantor demostró que c es definitivamente mayor que ℵ 0.

Hipótesis del continuo

La hipótesis del continuo sostiene que no hay conjuntos cuyo tamaño esté entre los enteros y los números reales. En términos de cardinalidad, esto indica que no hay números cardinales entre ℵ 0 y c.

Implicaciones y aplicaciones

El estudio de la cardinalidad tiene profundas implicaciones y aplicaciones en matemáticas y más allá, moldeando nuestra comprensión de la infinitud e influyendo en campos como la topología, el análisis real y la informática.

Comprender la cardinalidad es importante por varias razones:

  • Comparación de conjuntos infinitos: Ayuda a comparar diferentes tamaños de infinitud.
  • Demostraciones y teoremas: Ayuda a formular y demostrar teoremas que involucran conjuntos infinitos, como el teorema de Cantor.
  • Fundamentos matemáticos: La cardinalidad es fundamental para el desarrollo de la lógica matemática y la teoría de conjuntos.

Conclusión

El concepto de cardinalidad en teoría de conjuntos y análisis real proporciona una herramienta importante para comparar y comprender tanto conjuntos finitos como infinitos. Destaca la fascinante idea de que incluso dentro del ámbito de la infinitud, algunas infinitudes pueden ser más grandes que otras. Profundiza nuestra comprensión de las matemáticas y la lógica, proporcionando una visión del misterio de la infinitud.


Posgrado → 1.1.4


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (1.1.3)
Lógica y cuantificadores
Siguiente (1.2) →
Espacio métrico

Comentarios 



Cardinalidad de conjuntos

https://www.buddymath.com/g/1.1.4?bmal=es